— 7—

Abschnitten gelösten Aufgaben wurden die geometrischen Orter schon häufig angewendet, wenngleich dieser Ausdruck noch absichtlich vermieden wurde, da er seine Erklärung erst in diesem gegen- wärtigen Paragraphen finden konnte. Wir könnten hier nahezu jede Aufgabe als Beispiel auf- führen.“*) Ich dächte, die Erklärung eines geometrischen Orts kann man auch schon früher geben, nur wird man sich für die allgemeine, auch von A. Hoffmann und Fischer-Benzon vor- gezogene zu entscheiden haben, die nämlich lautet:„Der geometrische Ort eines Punktes ist eine Linie(gerade oder krumme), auf welcher der Punkt liegen muss.“ Natür- lich darf man vorerst nur die einfachsten geometrischen Orter bringen, also etwa solche, die sich direkt aus der Anschauung oder höchstens aus der Definition ergeben, wie der freie Schenkel eines Winkels oder die Kreislinie etc. Mit ihnen lässt sich eine bereits beträchtliche Anzahl Aufgaben ohne jede Schwierigkeit für die Schüler lösen. Ja selbst die vier bzw. fünf Dreieckskonstruktionen, die sich direkt an die Kongruenzsätze anlehnen, dürften auf diese Weise zu behandeln sein. Denn meines Er- achtens bietet sich gerade hier, wie ich später zeigen werde, die beste Gelegenheit, die Schüler mit den geometrischen Ortern bekannt zu machen, da auch bei diesen Aufgaben alle drei Möglichkeiten für die Bestimmung eines Punktes, nämlich zwei Geraden, zwei Kreislinien, eine Gerade und eine Kreislinie, vor- kommen. Ein nicht zu unterschätzender Vorteil liegt bei dieser Methode darin, dass die Schüler diese einfachen Konstruktionen nie mechanisch ausführen werden, sondern von Anfang gezwungen sind, sich auf ihr eigenes Nachdenken zu verlassen. Natürlich wird man hier die Analysis, ohne welche die Anwendung geometrischer Orter undenkbar ist, so kurz wie möglich fassen. Aber auch nur für diese vier bzw. fünf Konstruktionen und für die besonderen Fälle des gleichschenkeligen, recht- winkeligen, gleichseitigen und gleichschenkelig-rechtwinkeligen Dreiecks möchte ich eine derartige Freiheit gestatten, da, wie früher schon bemerkt, dieselben im Anschluss an die betreffenden Kon- gruenzsätze zu bringen sind, während ich bei allen übrigen Aufgaben es für zweckmässig halte, vor der Konstruktion eine ausführliche Analysis zu bringen, gerade um die Schüler bei diesen einfachen Aufgaben an deren Gang zu gewöhnen.

Als selbstverständlich ist es anzunehmen, dass der Lehrer beim Lösen von Konstruktions- aufgaben heuristisch zu Werke geht, d. h. dass er den Schüler mit mehr oder weniger Unter- stützung die Konstruktion selbst auffinden lässt, zumal da dieses Verfahren die ganze Klasse aufs lebhafteste anregt und Teilnahmlosigkeit aus dem Unterricht verbannt. Auch auf einen weiteren Punkt, der mir noch von besonderem Wert zu sein scheint, möchte ich hier aufmerksam machen, nämlich die Schüler recht bald daran zu gewöhnen, sich die Figuren im Geiste vorzustellen, sie vollkommen zu beherrschen und gleichsam mit geschlossenen Augen zu sehen, wie Gugler in Schmids Encyklopädie sich ausdrückt. Wenn man auch in der ersten Zeit besonders mit den schwächeren Schülern etwas Geduld haben muss, so wird doch dieser Zeitverlust später in reich- lichem Masse wieder ersetzt, und sicher wird auf diese Weise der Schüler noch in viel höherem Masse zur Aufmerksamkeit angespornt.

In Folgendem beschränke ich mich darauf, nur eine Sammlung von Dreieckskonstruktionen vorzulegen, die ich nach den ausgeführten Gesichtspunkten für meinen Unterricht in den Tertien mit der Zeit zusammengestellt habe, in der Hoffnung, durch die Stufenfolge dieser Aufgaben hin- länglich darzuthun, wie sich die Lösung von Konstruktionsaufgaben im Gymnasialunterricht nützlich verwerten lässt, ohne an den Schüler zu hohe Anforderungen zu stellen. Ich habe die Aufgaben nach geometrischen Ortern, wie sie sich aus den einzelnen Abschnitten des bei uns eingeführten

*) von Nagel, Geometrische Analysis, 2. Auflage, Ulm 1876.