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Konstruktion von Dreiecken zurückgeführt. Sind nicht ferner fast sämtliche Dreieckskonstruktionen dieser Stufe geradezu Fundamentalaufgaben für die Dreieckskonstruktionen des folgenden Teils, zu deren Auflésung die Proportionenlehre angewandt wird? Sie bilden gleichsam die Basis, auf der weiter zu bauen ist, und deshalb dürfte ihnen wohl hier eine besondere Aufmerksamkeit zuzuwenden sein. Ganz ähnlich sprechen sich Lieber und v. Luehmann in der Vorrede zur 2. Auflage über diesen Punkt aus. Auch sie sind der Ansicht, oft genug liege der Fehler, dass Schüler keine geometrischen Aufgaben lösen können, darin, dass sie in der Lösung der einfachsten Aufgaben nicht gründlich unterrichtet seien; denn gerade an diesen(es sind hier die vermittelst der vier Haupt- fälle lösbaren Dreieckskonstruktionen gemeint) lernten die Schüler die Methode der Behandlung und die Form der Darstellung am sichersten.*) Die ersten Versuche erfordern die grösste Aufmerk- samkeit und Hingabe des Lehrers. Hier muss er ganz besonders mit pädagogischem Takt und besonnener Vorsicht zu Werke gehen, nur nicht zu rasch über die Sache hinwegeilen, sich nicht mit der Frage„Hast Du es verstanden?“ begnügen, sondern sich überzeugen, ob dies auch wirklich der Fall ist, kurz, hier muss er seine ganze Geschicklichkeit entfalten. Und so stehen wir denn vor der Frage, wie die Konstruktionsaufgaben zu behandeln sind.

Wer einigermassen mit denselben vertraut und gerade kein Gegner der geometrischen ôrter ist, wird ohne Zweifel darin mit mir übereinstimmen, dass letztere beim Lösen solcher Aufgaben eine sehr wichtige Rolle spielen. Kommt es ja doch hierbei nur auf das Festlegen von noch fehlenden Punkten an, und da ein Punkt durch zwei sich schneidende Linien, die man die beiden geometrischen Orter dieses Punktes nennt, bestimmt ist, so könnte man füglich alle Konstruktionen auf das Schneiden von Linien zurückführen, bzw. alle mit Hilfe geometrischer Orter lösen. Man hätte demnach für alles Konstruieren eine gemeinsame Grundlage, eine gemeinsame Analysis. Zu- dem ist schliesslich jede, auf eine andere Basis gegründete Analysis doch weiter nichts als eine auf Anwendung von értern beruhende. Denn betrachtet man die Analysis durch Lehrsätze etwas genauer, so findet man, dass durch den betreffenden Lehrsatz entweder direkt ein Ort für den ge- suchten Punkt gegeben ist, oder dass mit Hilfe derselben ein Teil der Figur bestimmt werden kann, der sich durch die gegebenen Stücke konstruieren lässt, um sodann als Basis für die Kon- struktion der ganzen Figur zu dienen, natürlich auch wieder mit Hilfe von ôrtern.**)

Ganz ähnlich verhält es sich mit der Analysis durch Data. Beleuchtet man auch sie etwas schärfer, so wird man bald einsehen, dass durch ein Datum zugleich auch wieder ein geometrischer Ort für den gesuchten Punkt gegeben ist. Ich will nur an die Aufgabe, ein Dreieck aus ha, ta, α zu konstruieren, erinnern. Aus ha und ta ergibt sich und hieraus wieder ein Ort für den Punkt C bzw. B. Die Kenntnis der Data ist in einer anderen Hinsicht von Wichtigkeit. Da die Elemente eines Datums von einander abhängig sind, so können sie niemals zusammen als gegebene Stücke einer Aufgabe vorkommen, weil sie deren Lösung unmöglich machen. So sind die Aufgaben aus b † e, hy+ he,, oder aus p- q, ha, ta etc. ein Dreieck zu konstruieren nicht ausführbar.

Warum macht man aber die Schüler mit diesen Ortern, deren Kenntnis und Anwendung doch von so grosser Tragweite ist, nicht so bald als möglich vertraut? Warum vermeiden manche sogar ängstlich den Ausdruck„geometrischer Ort“ und behelfen sich sehr häufig mit einer Umschreibung? von Nagel sagt z. B. in seiner geometrischen Analysis pag. 183:„Auch bei den in den früheren

*) Lieber und v. Luehmann, Geometrische Konstruktionsaufgaben, Berlin 1885. **) Vergleiche Fischer-Benzon, pag. 9 u. 10.