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können selbst im Gymnasialunterricht in der jetzigen Zeit nicht mehr als nebensächlich betrachtet werden; denn man verlangt von jedem nicht einseitig Gebildeten, dass er sich so viel reales Wissen und Können angeeignet hat, als unbedingt erforderlich ist, um den gegenwärtigen Stand unserer Kultur einigermassen zu verstehen.*)

Was nun den oben erwähnten formalen Bildungswert der Mathematik betrifft, der ja wohl mit Recht in dem Unterricht auf den Gymnasien in erster Linie ins Auge zu fassen ist, so hängt dieser lediglich von der Behandlungsweise dieses Lehrgegenstandes ab. Betrachtet man z. B. die Planimetrie als eine Summe von Lehrsätzen, deren Richtigkeit einfach nachzuweisen ist, und lässt man hierbei noch das demonstrative Lehrverfahren, wie es häufig geschieht, vorherrschen, so dürfte auf den formalen Wert, der aus dieser Methode entspringt, wenig zu geben, ja das Ganze nur als eine Gedächtnisübung anzusehen sein. Die Ansicht, dass der Bildungswert der Geometrie wesent- lich in ihren Beweisen liege, dass der Schüler dadurch veranlasst werde, folgerichtig zu denken, ist, wie Becker treffend bemerkt, ein Irrtum, der sowohl unter Mathematikern als Nichtmathe- matikern verbreitet ist.

Ganz anders verhält sich jedoch die Sache, wenn man die erlernten Sätze zur Lösung geo- metrischer Konstruktionsaufgaben benutzt. Auf diesem Gebiet findet der Schüler so recht Ge- legenheit, nicht nur sein Kombinations- und Schlussvermögen auszubilden, sich im klaren Denken zu üben, sondern auch sein Anschauungsvermögen zu erweitern und selbständige Beobachtungen zu machen. Hier eröffnet sich die Bahn, auf der er zu zeigen vermag, dass er nicht nur etwas weiss, sondern auch, dass er etwas kann, und dem Schüler das Bewusstsein selbständigen Könnens beizubringen, ist doch viel wichtiger, als ausschliesslich sein Wissen zu bereichern. Hier wird er überhaupt zur Selbstthätigkeit angeregt, von der wesentlich ein guter Erfolg abhängt. Und schliesslich dürfte auch noch auf die Freude und innere Befriedigung hinzuweisen sein, die selb- ständig Geleistetes immer zur Folge hat. Hieraus geht zur Genüge hervor, dass die Auflösung von Konstruktionsaufgaben ein wesentlicher Faktor des geometrischen Unterrichts sein muss.

Gerade diesem Unterrichtszweig wird nun aber von verschiedener Seite der Vorwurf gemacht, dass er nur ein s. g. Rätselraten für die Schüler in sich schliesse, dass sich manche stundenlang mit derartigen Aufgaben abplagten und doch kein Resultat zustande brächten, hier besonders sei eine mathematische Begabung Erfordernis. Eine gewisse Berechtigung wurde diesem Einwurf auch von seiten der Fachleute zugestanden, was schon aus den vielen Bemühungen zu erkennen ist, die seit etwa 50 Jahren gemacht wurden, um allgemeine Grundsätze für die Auflösung solcher Auf- gaben aufzustellen.*)

Zweck nachfolgender Zeilen ist, meinerseits auch einen kleinen Beitrag zur didaktischen Be- handlung dieses Unterrichtsgegenstandes zu liefern.

Legt man den Schülern Aufgaben vor, für die ihr Verständnis nicht ausreicht, was leicht eintritt, wenn man sie gruppenweise, nach ihrem inneren Zusammenhang geordnet, durchnimmt, so muss man in der That einem solchen Verfahren den Vorwurf machen, dass es den Schülern manch- mal Rätsel aufgibt; denn gerade bei einer solchen Behandlungsweise schleichen sich zumal gegen Ende der Abschnitte nur zu häufig Aufgaben ein, die einer höheren Stufe angehören. A. Hoffmann,***) der in seiner sonst vorzüglichen Sammlung von planimetrischen Aufgaben eine solche Anordnung

*) Vergl. J. K. Becker, Die Mathematik als Lehrgegenstand des Gymnasiums, Berlin 1883.

**) Man vergleiche v. Fischer-Benzon, Die geometrische Konstruktionsaufgabe, Kiel 1884 und Verhand- lungen der 38. Philologen-Versammlung zu Giessen.

***) A. Hoffmann, Sammlung plänimetrischer Aufgaben, Paderborn 1879.