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Nachdem man auf diese Weise b und c gefunden hat, ergibt sich der Werth von x aus einer der Gleichungen 1) und 2). Um jedoch elegantere Resultate zu erhalten, eliminire man tga.(1+ v. w.) aus 2) und 3); dies gibt die Determinantengleichung: — w. cos † 9.— 0 cos cos H. x— 0 . cos w. x— Diese Gleichung ist aber identisch mit der Gleichung 12) des vorigen Paragraphen, während 11) mit Gleichung 13) desselben Paragraphen übereinstimmt. Mit ihrer Hülfe gelangt man also genau wie dort zu der ersten und zweiten Neper'schen Analogie, welchen wir jetzt die Form geben:

15) i 1æ= Ser-9).t3(6) und 16) eots 1a= an)(s-)

man braucht natürlich nur eine derselben, um den Winkel α zu bestimmen.

Wäre man in der vorigen Hauptaufgabe statt von den Fundamentalgleichungen des§. 3 von den ihnen dualistisch entsprechenden Gleichungen 16, 17, 18 des§. 4 ausgegangen, so hätte man in derselben Weise wie hier die vier Neper'schen Analogien als Lösungsmittel erhalten, nur in umge- kehrter Reihenfolge. Andererseits würden auch bei unserer Aufgabe die Gleichungen 16, 17 und 18 zuerst die dritte und vierte Neper'sche Analogie geliefert haben, wie bei der vorigen Aufgabe die Gleichungen des§. 3 die erste und zweite, und man hätte dann, nachdem dadurch 5 und c gefunden waren, durch die Gleichung 16 des§. 4 den fehlenden Winkel xα bestimmen können, nämlich:

tg G&. cose+ tgg. cosb 1— tg. tg7. cos 5. cosc

= O0 oder

17) tgaæ=—

Um logarithmische Rechnung anwenden zu können, setze man entsprechend der im vorigen Paragraphen gebrauchten Substitution:

tg. cosc= tgp und tg7. cosb=tgg, wodurch tgœ=— tg(p+ 4) oder unzweideutig 1800— χᷣ=n p+ wird.

§. 9. Fünfte Hauptaufgabe.

Gegeben sei b, e, 7, gesucht tga= u, cosæ=, cosß=). Die Fundamentalgleichungen heissen jetzt: 1) u= tgb. cos+. tge+u.. tgh. tge. cos, 2) tgbh= l. tge+ u. cos+ u. x. tgb. tge. cosy, 3) tge=zr a. T v. tgb P u. x.. tg b. tgc. Man bilde, um u und æ zu eliminiren, noch eine vierte Gleichung, indem man 1) mit æ multiplieirt und betrachte in den vier Gleichungen æ, u und u. x als Unbekannte, so erhält man als Resultante, die nur y enthält, folgende Determinantengleichung:

tg b. cos+† g. tge 0 9. tg b. tge. cos— 1 0 0„. tgb. tge. cos— 1 0—(tg b. cosy+† v. tgo)=0 tge cos⸗ tg b. tge. cos tg b tg b 9„. tg b. tge tge

Dadurch, dass man die zweite Vertikalreihe mit tgbh. tge multiplicirt und von der dritten abzieht, dann aber die erste Horizontalreihe mit tg b. tge multiplicirt und zu der zweiten addirt, erzielt man in der dritten Vertikalreihe drei Nullen und reducirt die Determinante auf den dritten Grad, nämlich: tgb. tgc.(tgb. cos+. tgc) v. tgb. tge. cosy— 1—(tg b. cos+ y. tge) tgc cos tg 5= 0,*) tg 5„ tge

*) Bei dieser Reduction ist der Factor. tg b. tgc. cosy— 1 unberücksichtigt geblieben, weil er nicht gleich Null werden kann. Macht man nämlich diese Annahme, so folgt aus Gleichung 1) auch tgb. cos+y. tge= 0, was mit g. tgb. tge. cosy— 1= 0 die unerfüllbare Bedingungsgleichung tgab. cosy+ 1= 0 liefert.

⸗ 3*