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oder, wenn man die mit tgb. tge multiplicirte dritte Vertikalreihe zur ersten addirt:

0„. tg b. tgc. cos— 1—(tg b. cos+„. tgo) tge.(1+ tg*²5) cos† tg b— 0 tgb.(1+tg*c) 9 tg c

Dies gibt, nach Elementen der ersten Horizontalreihe entwickelt: G. tg b. tge. cos— 1). ſtg*c.(1+ tg*½)— tg*b.(1+ tg*c] 4 +(tgb. cos+ y. tgc).[u. tge.(1+ tg*5)— tg b. cos d1 tg*=0.

Nach Ausführung der Multiplicationen heben sich alle Glieder, welche» in der ersten Potenz ent- halten und man hat nur noch:

tg*b.(1+ tg*c)— tg'c.(1+ tg* 5)+„. tg'c.(1+ tg* b)— tg*5. cos“.(1+ tg*c= 0. oder 9*. tgc.(1+ tg* b)= tg'c.(1+ tg 5b)— tg*b.(1+ tg*c). sin*†. Daraus folgt endlich: 4 tg²5(1 tg c). sine,

129 tg'c.(1+ tg ²5) sin) Kse oder, wenn man die Wurzel zieht, wobei man aus schon bekannten Gründen nur das positive Zeichen wählen darf: in b. si 4) sin Fe= dn sin]. sin c

Man wird also, wie man sieht, nothwendig auf den Sinussatz geführt, wenn man den Winkel 9 finden will. Jedoch kann dieser Winkel nur dann wirklich existiren, wenn sinb. sin?= sinc ist, weil andernfalls sin grösser als l werden würde. Ferner ist dieser Winkel, wenn er wirklich existirt, zweideutig, weil zu einem Sinus sowohl ein spitzer als ein stumpfer Winkel gehört, oder, was das nämliche ist, sein Cosinus hat das doppelte Vorzeichen. Man hat demnach aus unserer ersten Fundamentalgleichung: tg b. cosy X tgc. cos 5

1 tgb. tgc. cos 6. cos⸗

5) u=tga=

Je nachdem nun die gegebenen Stücke 5, c, 7 kleiner oder grösser als 90° sind, haben tgb, tge, cosy bezüglich das positive oder negative Vorzeichen; nimmt man aber blos die ab- soluten positiven Werthe der zuletzt genannten Grössen und setzt:

tg b. cos= tg P, und tgc. cos= tg P., wo demnach P, und P. Bogen bedeuten, welche= 90° sind, so hat man für den Fall, dass 5 und 7 zugleich grösser oder kleiner als 90° sind und c kleiner als 90 ist: tga= tg(P c Po), wo das obere Zeichen für den positiven Werth von coss und das untere für den negativen Werth von cos gilt. Ist aber b und 7 zugleich grösser oder kleiner als 90° und c 90‧, So ist: tga= tg(P † P). Im Falle 5= 90°und= 90° oder 5= 90°und„= 90° und zugleich c= 90° ist, gilt die Gleichung: tga= tg(— P. P.), und wenn endlich unter sonst gleichen Umständen c*⁵ 90° ist, so erhält man: tga= tg(— P. † P.).

Die acht Werthe von a, welche aus diesen Gleichungen resultiren, gehören nur vier wesentlich verschiedenen Dreiecken an. Denkt man sich nämlich ein Dreieck, in welchem alle Winkel und Seiten a, 5, 7, a, b, c kleiner als 90° sind, so bilden die drei grössten Kreise, durch deren Bogen das Dreieck gebildet wird, auf der Oberfläche der Kugel acht Dreiecke, von welchen je zwei Scheitel- dreiecke, also symmetrisch gleich sind und sich nicht wesentlich von einander unterscheiden; je ein dem ursprünglichen Dreieck anliegendes Dreieck dagegen ergänzt dasselbe zu einem sphärischen Zweieck und ist wesentlich von ihm verschieden. Bezeichnet man die Seiten und Winkel der drei noch möglichen Dreiecke, welche in dieser Weise entstehen, durch die Indices 1, 2, 3, so ist:

a.= a., 6.= 1800— 6, 7.= 1800— f, a.= a, 5.= 1800— b,= 1800— c, .= 180 0— α, 5.= 9, 72= 180°— 7, a.= 1800— a, 5.= b, Gc.= 1800— e, .= 180 0— α, 6.= 180˙—, 72=7, 72.= 1800— a, 5.= 1800— b, c.= c.