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8) cosa=&(cosb. cose+ sin 5. sinc. cos), wo das positive Zeichen zu nehmen ist, weil die Formel für«= 90 übergehen muss in cosa= cos b. cosc. Um die Logarithmen anwenden zu können, setze man: tg b. cosa«= tgp und tgc. cos«= tg g,

5.— so ist entweder 9) cosa= cosb.(cose+ sinc. tg p) 042 dos(erS)

cosp

oder 10) cosa= cosc.(cosb+ sinb. tg)= L086.208(90— 2)

und aus 5) und 6): 11) cos= t C 2), cos 7= 6s(= 9. tga tga

Anstatt zuerst a zu suchen und dann daraus β und 7 zu bestimmen, kann man auch den

umgekehrten Weg einschlagen. Zunächst erhält man nämlich durch Division der Gleichungen 5) und 6) das Verhältniss der

Cosinusse der Winkel β und 7: cosg tge— tgb. cosæ. 12) cos tgb— tge. cosæ' um auch das Verhältniss der Sinusse zu erhalten, quadriren wir jede, ziehen sie dann von der Identität 1= 1 ab und dividiren die Resultate, so ist: sine 42. 2 C:* sin 4*. u*— B* oder, wenn wir statt B, C und 4A*². u*(Gleichung 7) ihre Werthe einsetzen: sin“e tg¹? † tg'c— 2tgb. tge. cosæ+ tg*b. tg“c. sin“æ—(tge— tgb. cos)“ sin?⸗ tg5+ tgic— 2tgb. tge. cos« tg b. tg c. sinsæ—(tgh— tgo. cos α)* tg b. sin“«+ tg'b. tgec. sin« tg¹5(1+ tg'c) sin“b tgic. siniaæ tg?h. tg c. sina« tgic(1+ tg“b) sinic Bei der Wurzelausziehung muss man aus schon früher erörterten Gründen das positive Zeichen wählen und erhält so noch einmal den Sinussatz: sins sinb 13) n, sine Aus den beiden Proportionen 12) und 13) bildet man durch correspondirende Addition und Subtraction die neuen: coss+ cos;(tgb+ tgc) sin: 4αᷣ d sinß sin sinb sine. c085— cos(tgo— tg 5) cos“hæ d ig sin; sinh— sinc: eine leichte Transformation liefert sie in der Form: sin(b— c). cos ¼a sin z(b5— c). cos 4(b— c). cos* ½ 1 1(5). 1 3(6=7)= an-.). e⸗14— an Ge. eG-ch eere(a)

und tg ¾3(+ 7). cotg ½(5— 7)= tg ³(b+† c). cotg ¼½(b— c).(b) Durch Multiplikation und Division geht daraus hervor: cos²4(b— c) sin: ½(5—)

tg²½+7)= eosr(5 c. cotg dœ und tg*² 4½(5— 7)— aur cotg 4α.

Bei der Wurzelausziehung fragt es sich, welches Zeichen man zu nehmen habe. Nun ist aber klar, dass man entweder bei beiden Gleichungen zugleich das positive oder bei beiden zugleich das negative Zeichen nehmen müsse, weil ja das Produkt der radicirten Gleichungen mit(a) überein- stimmen muss. Ferner sind alle in der zweiten Gleichung nach der Radicirung vorkommenden Functionen positiv, weil Seiten und Winkel kleiner als 180° vorausgesetzt werden; daher darf man bei dieser nach der Wurzelausziehung nur das positive Zeichen nehmen, folglich auch bei der ersten. Somit hat man zur Auffindung der Winkel und 7 die beiden Gleichungen:

cos 4(b—& sin 4(b— 1) t24(G L/)= 2 r). ecte a und 13) 1s3(s— 7)= A2=9). eate za, welche schon früher(Gleichung 17 und 18 des§. 5) gefunden wurden und den Namen der ersten und zweiten Neper'schen Analogie tragen. Jetzt ergibt sich der Werth von a unmittelbar

aus Gleichung 1), nämlich: