Die Substitution u= u,n p, v= v g, w=— r bewirkt, dass dasselbe übergeht in: 2. vv= p+ 9.v, u*. u= Pr. p, v. u=e P p. 9, woraus man durch Multiplication und darauf folgende Wurzelausziehung erhält: u*. vi. u=(p+ 7.r).( Pr. p).(r+† p. 2)= W, wobei zu berücksichtigen ist, dass W das doppelte Lelchen haben kann; dies gibt leicht:

—„

2, 1 † r Ie Terc Kemm „=— r. u9+r

Nun ist, wenn man statt p, g, y wieder ihre Werthe einsetzt: W= cotg a. cotg b. cotg e. V(1+ cotg a).(1+ cotg*5).(1+ cotg*c) cosa. cosb. cosc sin a sin h sinic'

. 1212 cos 5b. cosc 4. und da p+† g.7= cotg b. cotgc.(1+ cotg*a) FiraTauhe aing ist, so hat man: W cos a 1 =—.. s. w. — cosb. cose& cosa p+ L.7 sin b. sine demnach àu= 8. W

sin b. sinc Das positive Zeichen ist zu wählen, weil für= 90° die Gleichung übergehen muss in: cosa= cos b. cosc.

§. 7. Dritte Hauptaufgabe.

Wir wollen von nun an immer die Fundamentalgleichungen in der Form anwenden, wie sie in§. 3 gegeben sind, und, entsprechend der Bezeichnungsweise des Herrn Diekmann a. a. O. pag. 11, die Grössen cosæ, cosß, cosp, wenn sie als Unbekannte auftreten, mit æ, 9, e, dagegen die Grössen tga, tgb, tge in demselben Falle mit u, v, w bezeichnen. Sind demnach 5, e und x gegeben, so heisst unser Gleichungssystem:

1) u.(1—. 2. tgb. tgc)= 2. tgb+† p. tge, 2) u. 2.(1+tgh. tge. cos æ)= tgbh— tgc. cosaæ, 3) u. y.(1+tgb. tge. cos æ«)= tge— tgbh. cosa.

Wenn man zur Abkürzung 1 Ptgb. tgc. cos«= A, tgb— tgc. cosa= B, tge— tgh. cos a= C setzt und die Gleichung 9) mit u. ℳ* multiplicirt, so bekommt dieselbe durch Einführung der Werthe von u. æ und u.„ aus 2) und 3) die Form:

u*. 42— B. C. tgbh. tge= 4. B. tg b+ 4. C. tge oder 4) u¹*. A4= B. C. tgbh. tge+ A4.(B. tgb+ C. tge), während man aus 2) und 3) findet: 5) 2=

B 0

1 und 6) 2

Die Gleichung 4 gibt entwickelt:.. 26 7) tg'a.(1+ tgb. tgc. cos)“= tg*5+ tg'c— 2 tg b. tgc. cos a+ tg*b. tg'c. sin“«,

ein Resultat, welches eine merkwürdige Uebereinstimmung mit dem Cosinussatz der ebenen Trigono- metrie zeigt, und wirklich in diesen übergeht, sobald man die absolute Grösse der Seiten und Winkel unverändert lässt, aber den Radius der zugehörigen Kugel ins Unendliche wachsen lässt. Man kann dasselbe aber auch noch umformen, so dass man eine schon früher gefundene Formel erhält; denn es ist:

1 tg*c 1. (1 tg*a).(1 Ptg b. tgc. eos æ)“= 1+tg*5b † tg'c † tg*b. tge= h n 08 5. c05e daher ist cos'a=(1 tgh. tge. cos)“. cos*b. cos'c und