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nur eine solche schreiben, aus der die übrigen durch Vertauschung der Buchstaben hervorgehen; dann hat man, wenn man noch bemerkt, dass im Allgemeinen cos(45°— x)= sin(45°+) und sin(45⁰—*)= cos(45+*) ist, die merkwürdigen Gleichungen: 34) sinz zs— sin[45°= 4 Gl. sin[45 ₰ℳ 4 8— 2. n 145 4 4(0— 9)]. sin[45+ ½(0— p)] 1 sin 4 αη. sin 4 Gβ. sin 4⸗ cos[45°— 40]². cos 45+ 1(G ‧— æ)]. cos 45+ 4(0— 9)]. cos 45+ 4*ꝙ, sin ¼ α. sin ¼. sin ¼/ sin[45°— ½ G]. sin[45+ ½(6—)]. sin[45°— ½(6— S)]. sin[45°— ½(6—)] sin 4 αά. cos ¼49. cos 47 3 cos[45°— ¼]. cos 45+ 4½(0—)]. cos[45°— ½(0— 9)]. cosl4 5= 1pl, sin 4 α cos ¼4. cos 47 sin s. sin 4(s— a). sin 4(s— b). sin 4 G=d, cos 4a. cos ¼ b. cos 4e cos 4 s. cos(— a). cos 4(— b). cos 1(8— 9, cos 4a. cos ¼ b. cos 4e Ccos4 s. cos4(s— a). en 3(se). sin 4 En, cos ¼a. sin 4 b. sin 4e sin ¼8. sin ½(S— a). 208.4)⸗ cos 4(8— c) cos 4¼ a. sin ½ b. sin 4 3 Wenn man je 2 aufeinanderfolgende der letzten 8 Gleichungen durch einander dividirt, so bekomme man noch folgende 4 neue Gleichungen:

42) t.=— tg 45— 4½). tg 45+%— α). tg 45+)]. tg[45° 46 A, 4) 5*== W3.= 2.1s 43-7G=):16 13- s=9)f. 6- 1e=2.

35) cos² ¼s8

36) sin²(s— a)=—

37) cos¹4(s— a)

38) sin*[45— 4½]—

39) cos*[45°— 4—

40) sin[45— 3(6—))=

41) cos ¹[45°— ½(6—.²)=

44) tg*[45°— 1 tg 18. tg(s-— a). ig(— b). tg ½(6—), 45) tg*450 Tal=e)e a4, z8. cotg ¼(— a). tg ½(8— b). tg ½(8—).

Unter diesen Formeln finden namentlich 38, 39 und 44, welche letztere den Namen ihres Erfinders L'Huilier trägt, practische Verwendung, weil man mit ihrer Hülfe den sphärischen Excess und damit den Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks aus seinen drei Seiten bestimmen kann; der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks ist nämlich, wenn der Radius der zugehörigen Kugel gleich der Einheit angenommen und G in Bogenmass ausgedrückt wird, gleich dem sphärischen Excess 20—. Man kann aber mit ihnen noch eine Menge anderer Aufgaben lösen; z. B. das Dreieck zu bestimmen, wenn die Summe der Seiten, die Summe der Winkel und ein Winkel oder eine Seite gegeben ist' oder umgekehrt. Uns kam es jedoch bei diesen Entwickelungen weniger darauf an, Mittel zur Lösnng von Aufgaben zu bieten, als vielmehr den analytischen Zusammenhang unserer Formeln unter einander nachzuweisen.

§. 6. Directe Lösung der zweiten Hauptaufgabe.

Durch die Gleichungen 12 des§. 4 ist zwar die Aufgabe, aus den Seiten die Winkel zu finden, schon gelöst; jedoch haben wir dieselben nicht unmittelbar aus den Fundamentalgleichungen 1, 2, 3 desselben Paragraphen abgeleitet, sondern mit Benutzung der bei der Lösung der ersten Hauptaufgabe auftretenden Formeln erhalten. Es wurde zwar ferner in demselben Paragraphen gezeigt, dass die Lösung der zweiten Hauptaufgabe auf domselben Wege vor sich gehen könne, wie die der ersten, wenn wir nur statt von den Gleichungen 1, 2, 3 von den qdualistisch ihnen entsprechenden 16, 17, 18 ausgingen, jedoch bemerkt, dass das erste System vollständig genüge, um alle Hauptaufgaben, also auch diese, zu lösen. Dies wollen wir denn nun jetzt nachweisen. Zu diesem Zwecke sehe man in den Gleichungen 1, 2, 3 des§. 4 die Cosinusse der Winkel α, 9, 7 als Unbekannte an und bezeichne sie der Reihe nach mit ¹, v, w, während man die Grössen cotg b. cotge, cotg c. cotga, cotga. cotg b gleich p, g, r setzt, so hat man das System: ⁰0. v+ 10. 71+ v. I= p, d.+ u. I+ w. p=, v. à+ v. p+ u. 4=r.