— 11— Hätte man obige drei Gleichungen nicht alle mit einander multiplicirt, sondern nur je zwei, so hätte man z. B. erhalten: sin(s== a) d*. tg ¼. tg ¼ 75= 4 sin*(s— a). sin(s— 5). sin(— c)= d?.—. Man sieht sofort, dass sin(— a)= sins. tg ¼1. tg ½4, also d

3in 6 6 4sin α. cos 19. cos 3

26)— sin 6= 9=. cos I7. cos Tæ 9

8in— 9= 4 sin ½. cos α cos 4 iat.

Das System 2) gibt, in derselben Weise behandelt, nacheinander die Systeme: sin.(sin. sin? ½+ sin g. sin¹ 3 c)=— ſcos(— S)+ cos(oß— p)l. coso, 27) zsin β.(sin. sinz c+ sin 7. sin* a)=— ſcos(G ‧— 7)+ cos(6.—)]. coso, sin 7.(sin. sin' ¾+† sin. sin“ ³ 5b)=— ſcos(ù-)+ cos(G— S)]. cos o; sin«.(sin. cos ½ 5+ sin. cos¹ c)= ſecos(G—=)+ cos(6— †)]. cos(6.ù— ¹), 28)[sin.(sin«. cos e+ sin 7. cos²t a)= ſcos(—))+ cos(9—)]. cos(6— g), sin 7.(sin. cos“ da+ sin. cos¹4 5)= ſcos(6— a)+ cos(— S)]. eos(— 7); aus denselben folgt gerade wie oben:

Co0s G. cos(6— œᷣ)

. 2 1— 29) sin“* †a— u. S. w. 30) cosza= cos(6 5 Ln(6—) u. s. w. und durch Division:.in7 31) tg* za=— Cos G. cos(— α)

cos(— g). cos(6— 7) oder J. cotg ¼a= 2 cos(— S). cos(— p). Indem man die Buchstaben vertauscht und die drei so entstandenen Gleichungen multiplicirt, kommt: 4

ds. cotg 4½α. cotg 4 b. cotg ¼= 8 cos*(⁶b—). cos(—à— S). cos*(6ß—)=

— Daraus folgt endlich: 2 coso= J. tg za. tg ½5b. tgzc. 2204,9 Nun ist. und 1— 4— also ist: u u sina. sin b. sinc 3 32) coso

—cos Ja. cos I5- cos Ie' bei der Wurzelausziehung wurde hier das negative Zeichen genommen, weil zwar alle Grössen auf der rechten Seite ihrer Natur nach positiv sind, dagegen o zwischen 1 R und 3 R liegt, also coso immer negativ wird.

Hätte man nur je 2 der obigen Gleichungen mit einander multiplicirt, so wäre entstanden: — 3* 08(G.— c.)

coso

Daraus schliesst man, dass cos(àu—-.)=— cosd. cotg ½ b. cotg ¼ ist, dass also: d

—1 cos La. sin I5. sin c

d². cotg ½ b. cotg ½= 4 cos“(—). cos(⁵— S). cos(— †)=

co0s(O—)

33)+ cos( r. sin Lc. sin a' d

cos(— 7)=

4 cos e. sin Ja. sin ¾ ο

Die Gleichungen 25 und 26, 32 und 33 haben den Uebelstand, dass die Grössen s, s-— a, s— 5b, s— c, G, J‧—, G6—— S, 6— nicht unzweideutig durch sie bestimmt werden, denn jede Grösse der ersten Gruppe liegt zwischen 0 und 2 R, jede Grösse der zweiten Gruppe zwischen 1 R und 3 R, so dass im ersten Falle zu den Sinussen, im zweiten Falle zu den Cosinussen je 2 Winkel gehören können, die sich zu 180⁰, bezüglich 360° ergänzen. Man kann aber Formeln finden, welche frei von diesem

2*