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2 sin b. cosa. cos“ ¼—⁄+ 2sinc. cos¹ ¼= sin(a+ ⁵)+ sine, 2sinc. cos a. cos¹ 1+ 2sin b. cos¹ 4= sin(a+†)+ sinb; die Addition gibt nach leichter Transformation: (1+ cos a).(sin c. cos² ½¾/½+ sin 5. cos“ ¼)= sins ſcos(s— 5)+ cos(— c)] oder cos* a.(sinc. cos* ¾+ sin 5. cos² ¾)= sins. cos †a. cos ½ b— c). Dividirt man jetzt mit cos ¼a und multiplicirt mit 2sin a, so kommt: sin a.(sinc. cos² ¼¾/+ sin 5. cos“¹ ¼)= 2 sin ¼a. cos ¾(b— c). sins. Die rechte Seite dieser Gleichung ist aber identisch mit[sin(— b)+ sin(— c)]. sins, so dass durch Vertauschung der Buchstaben folgendes System von Gleichungen entsteht: sin a.(sin c. cos² ¾+ sin b. cos² 4 †)= ſsin(— 5)+ sin(s— c). sins, 21) sin 5.(sin a. cos² ¾⸗+ sin c. cos ¼)= ſsin(s— c)+ sin(s— a). sins, sin c.(sin 5. cos* α+ sin a. cos* S)=[sin(s— a)+ sin(s— 5)]. sin s. Wenn man von der halben Summe dieser Gleichungen jede einzelne abzieht, so erhält man ohne alles Weitere: in(— 22) cos 4 æ= Line. Sin(s.— a4. G 22 u. s. w. sin b. sin c Für die Sinusquadrate der halben Winkel geben dieselben Gleichungen des Systemes 1): 2 sin 5. cosa. sin ¼—ʃ+ 2sinc. sin² ¼= sine— sin(a— ⁰), 2sinc. cos a. sin² ¾+ 2sin 5. sin Q⁄= sinb5— sin(a— c), woraus durch Addition folgt: (1+ cos a).(sinc. sin ½+ sin 5. sin² 4½)= sin(s— a).[cos(s— 5)+ cos(s— c)) oder cos“ 4a.(sin c. sin²¾⁴ ½+ sin 5. sin² ¾*)= sin(s— a). cos 4a. cos ¾(b— c). Dividirt man wieder mit cos ha und multiplicirt mit 2 sin 4a, so erhält man wie oben: sin a.(sin c. sin“ ¼+ sin 5. sin² 4½)= 2sin 4a. c03 ½(b— c). sin(——), Es ist daher, wenn man wie oben verfährt:=(sin(S— 5)+ sin(—. sin(S— a). Ssin(s— 5). sin(s—)

23) sin 4ᷣ. 8 u. s. w. sin b. sinc Das vierfache Produkt der beiden Gleichungen 22) und 23) gibt mit Berücksichtigung der Gleichung 14) des§. 4:. d² oder nach der Wurzelausziehung: Bin a= Kn15. Ins,

sin«. sin b. sinc= sin. sinc. sina= Sin. sin a. sin b= d, was wir schon früher wussten(vergl. Gl. 8. des§. 4.). Dagegen erhalten wir durch Division der beiden Gleiehungen 22) und 23) die neue Gleichung: 24) tg1*= sin GA sin(— c) woraus sins. sin(— a) d. tg ¼¾ α 2 sin(s— b). sin(8— c) folgt. Wenn man die durch Vertauschung der Buchstaben aus dieser Gleichung entstandenen Gleichungen mit ihr multiplicirt, so bekommt man das Resultat: 4 ds, tg 4α. tg ³¼ β. tg ½= Ssin'*(s— a). sin“(s— 5). sin“(S— c)= 2sin“s= d. cotg ¼4α. cotg ¼¾. cotg ¼ wird. Nun ist aber nach Gleichung 9) des§. 4 dß= J.*, wo=

, 8o dass

2 sin*s

gesetzt war;

man hat daher: 2 1 sin. sin β. sin? sines= S- cotg 4æ. cotg f. cotg 17 dier 8. sin α. sin ½. sin 47. cos † α. cos 4. cos 47 . 9 25) sins—

4 sin ¼ α. sin 4. sin 4¾† 3 wo bei der Wurzelausziehung das positive Zeichen genommen wurde, weil alle Grössen auf der rechten

Seite gemäss unseren Voraussetzungen positiv sind und auch sins positiv sein muss, da a †‿ †e=4 R, also= 2 R ist.