11) Gsin a+ sin 5). sin=(sin«+ sin S). sinc, 12)(sina— sin b). sin=(sin«— sin 9). sinc, die man gewöhnlich aus dem Sinussatz ableitet.

Indem man die Summen und Differenzen der Sinusse und Cosinusse in Produkte verwandelt und auch sonst überall die halben Winkel und Seiten statt der ganzen einführt, erhalten die Gleichungen 3), 4), 7), 8), 11) und 12) folgende Gestalt:

sin(a+†). cos ½(a+†f 5). sin* ½= cos x†(+†„). cos ½(— S). sin ½c. cos e, sin †(a— b). cos ¾(a— 5). cos ½ 75= sin ¾(a+ S). sin(—8ñ 9 1. oor e, sin †(α+‿˖ 9). cos ¾(ᷣ+‿ H). cos ¾= cos ¼(a+). cos ¼¾(a— 5b). sin ½1. cos*, sin †(a‿—= S). cos ¼(— H). sin% e= sin ½(a+ b). sin ½(a ‧— 5). sin 7. cos ¼/, sin(a+ b). cos(a— 5). sin ½. cos ½= sin(a+ S). cos ¾(*— S). sin e. cos e, sin ¾(a— 5). cos(a+ 5). sin 7. cos 7= sin ½(— p). cos ¾(a+ g). sin e. cos dc.

Um die Uebersicht zu erleichtern, bediene man sich der Abkürzungen:

sin X(a-+ b); sin(+◻ι 6,

sin X 3 cos ¾ 7 3 sin 4(a— 5) sin ½(— 9) —E=m, 1e= ¹, sin e 1 cos ¼¾„ cos ¼(a+ 9=n, vrar 9, cos Te sin ⸗ eos Xla— 9)=y cos a— cos ¾e 3 sin ¼ 7 59

dann heissen die letzten Gleichungen:

In= vo, mr= Au, nr= 1*, Im= 4 0, 1I1= A0, mn=. Die erste und dritte ist, wie man sogleich sieht, eine Folge der vier übrigen, oder auch die zweite und vierte eine Folge der vier übrigen. Man braucht also nur die erste, dritte, fünfte und sechste oder die zweite, vierte, fünfte und sechste in Betracht zu ziehen. Nultiplicirt man die zweite und vierte, so gibt es m'lr= u*⁄2ο, was vermöge der fünften in mi=* übergeht. Daraus folgt entweder

m=+ u oder m=—; gilt das erste Zeichen, so ist auch 1= 0,=„,= 4, ist aber m=—, so ist auch 7=— 0, n=—*,=— 1. Nun muss aber m=+ u sein; denn in der Gleichung sin ½(a— b) sin ½(-0 89) sin c cos ¼7

sind die Grössen †(a— b), ½(—“ 9), c, 17 alle= 90%, weil Seiten und Winkel des Dreiecks alle= 180° vorausgesetzt wurden, ihre Sinusse und Cosinusse also positiv. Man hat daher die folgenden vier von Gauss gefundenen Gleichungen:

sin ¼(a+† b) cos ½(— 9) sin 4(a— 5) sin ¼(α— 9) 12) un 1060 5 1„ 14) E zun 1e6 0s1; cos 4(a+ 5b) cos ½(α+ 9) cos ½(a— b) sin 4(a+. 9) 15)— 4—; 16)—. c08 ¾ G sin 4 7 cos ¾ cos ¾*†

Wenn man je zwei dieser Gleichungen durch einander dividirt, so kommen die unter dem Namen der Neper'schen Analogien bekannten Gleichungen zum Vorschein, nämlich:

cos 4(a— 5)— Siin 4(a— b) cos ½(..— 9)— Ssin 4(— 9) 19) ts 3*† h. cotg Je= ee la 9)' 20) tg 4 h. eotg te= An Jia—e 5

Diese Gleichungen finden zur separirten Lösung der folgenden Hauptaufgaben und vieler anderen eine ausgedehnte Anwendung. Aber auch schon für die erste und zweite Hauptaufgabe kann man eine solche Lösung finden, wenn man statt der Cosinusse der Winkel und Seiten die Gosinusse und Sinusse der halben Winkel und Seiten sucht. Führen wir zu dem Behufe in die erste und zweite Gleichung des Systemes 1) die Cosinusse der halben Winkel ein, so erhält man: