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aus dem einzigen Systeme 1, 2, 3 oder dem damit identischen des§. 3 herzuleiten, weil jede Lösung einer Hauptaufgabe auf diesem Wege der Form nach übereinstimmt mit der Lösung der conjugirten Hauptaufgabe nach dem System 16, 17, 18.
Bevor wir jedoch auf diesem Wege weiterschreiten, wollen wir erst unsere Fundamental- gleichungen benutzen, um daraus eine Reihe bekannter Formeln zu entwickeln, welche sogenannte separirte Lösungen liefern, d. h. Formeln, welche, wie Herr Diekmann a. a. O. Seite 16 gezeigt hat, ausser der gestellten Aufgabe eine ganze Gruppe von Aufgaben lösen, von denen jene ein specieller Fall ist. Dahin gehören die sogenannten Gaussischen Gleichungen, die Neper'schen Analogien und die Formeln, welche die goniometrischen Functionen der halben Winkel und Seiten bezüglich durch
die Seiten und Winkel ausdrücken.
§. 5. Die Gaussischen Gleichungen, die Neper'schen Analogien und die Functionen der halben Winkel und Seiten.
Die Gleichung 1) des vorigen Paragraphen lässt sich in folgenden zwei Formen schreiben: cotg b.(cotg c— cotg a. cos 5)=(cotg a. cotge+ cos S). cosy, cotg c.(cotg 5— cotg a. cos)=(cotga. cotg?+ cos). cosg, oder nach Auflösung der Cotangenten in Quotienten von Cosinussen und Sinussen: sina. cose— cosa. sinc. coss cosa. cosc+ sina. sinc. eosg,
sin b. cos? cosb sin a. cosb— cosa. sinb. cos cosa. cosb+ sina. sin 5. cos7. sin c. cos 9 cose 1
die rechten Seiten dieser Gleichungen sind nach System 12) des vorigen Paragraphen der Einheit gleich, also sind es auch die linken, und man erhält, indem man ebenso mit Gleichung 2 und 3 des vorigen Paragraphen verfährt, oder durch einfache Vertauschung der Buchstaben folgende 6 Gleichungen:
sin a. cos c— cosa. sin c. cos H= sin b. cos/, sin a. cos 5— cosa. sin 5. cos= sin c. cos; 1) sin 5. cosa— cos b. sina. cos= sin c. cosæ, sin b. cos c— cos b. sin c. cosæ= sina. cos?; sin c. cos b— cosc. sin 5. cosæ= sin d. cos, sin c. cosa— cos c. sin a. cos Hβ= sin 5. cos æ. Ganz in derselben Weise findet man aus den Gleichungen 16, 17 und 18: sin«. cos+ cos æ. sin. cos b= sin Gβ. cose, sin. cos+ cosæ. sin. cos c= sin 7. cos b; 2) sin. cos æ+ cos. sin æ«. cos c= sin 7. cosa, sin β. cos 7+ cos. sin 7. cosa= sin. cosc; sin 7. cos+ cos 7. sin G. cosa= sin«. cosb, sin 7. cos æ+ cos 7. sin«. cos b= sin. cosa. Diese bekannten Formeln, welche Beziehungen zwischen je 5 Stücken eines Dreiecks enthalten, sind an und für sich vieler Anwendungen fähig, und genügen vollständig, um ohne Zuziehung anderer Sätze unser vorgestecktes Ziel zu erreichen. Man addire und subtrahire zunächst die zweite und dritte und dann die erste und vierte Gleichung des Systemes 1), dann gibt es: 5 2 sin(a+ 5). sin ½—7Qz)ꝛ⁊̈ sinc.(cos H+ cos), 4) 2 sin(a4— 5b) cos¹ ¾= sin c.(cos Hβ, ‧— cos), 5)(Ssin a+ sin 5).(cosc— cos)= sinc.(cosa. cos 5+ cos b. cos), 6)(sina— sin 5).(cose+ cos)= sinc.(cos a. cosᷣ— cos b. cos). Ebenso erhält man aus dem Systeme 2): 7) 2 sin(†.‿¶£). cos¹ †e= sin.(cos5+ cosa), 8) 2sin(— p). sin †e= sin7.(cos b— cosa), 9(sin«+ sin S).(cos c— cos)= sin(cosa. cos+ cosb. cos), 10)(sin«— sin).(cose+ cos)= sin 7.(Cosa. cos— cosb. cos). Die Division von 5) durch 9) und von 6) durch 10) liefert die neuen Formeln: