1 c⸗ 5 13) dlᷣα 0 1 a. 5 a. 1
Die Entwickelung der Determinante gibt entweder unmittelbar d ²2= 1+ 2*b.— a¹2— 5/2— 04, oder, wenn man ähnlich verfährt, wie oben bei, d'*= sin:¹h. sin'c—(cosa— cosb. cos c)*. Die rechte Seite dieser Gleichung zerlegt sich wieder in das Produkt: cosa—(cos b. cose— sin 5. sin c)]. ſcos 5. cosc+ sin b. sine— cosa] = ſcos a— cos(b+ c)]. ſcos(b— c)— cos a] = 4 sin ½(a+†+). sin ½(— a+† 5+c). sin †(a— 5b+ c). sin ½(4+ b— c), so dass man mit den bekannten Bezeichnungen erhält: 14) d*= 4 sin s. sin(s— a). sin(8— 5b). sin(— c).
Die Analogie der Gleichungen 12) mit 10) und von d mit à tritt noch deutlicher hervor, wenn man die Gleichungen 12) der Reihe nach mit sin æ, sing, sin? multiplicirt und die Gleichungen 8) dabei in Betracht zieht; denn man erhält dann die Gleichungen:
15) d. cotg æ= 4“— b', d. cotg ν= B'— ca*, d. cotgy= c“—— a¹b“,
welche sich von den Gleichungen 11) nur dadurch unterscheiden, dass statt a, 5, c bezüglich— — b'“,— c“, statt cotg a, cotg?, cotge bezüglich— cotg æ,— cotg β,— cotgy, und statt à endlich d vorkommt, mit einem Wort, dass statt der Seiten und Winkel des Dreiecks bezüglich die Supplemente der Winkel und Seiten gesetzt sind, was man durch Anwendung des Polardreiecks unmittelbar hätte herleiten können. Ohne uns aber dieses geometrischen Hülfsmittels, welches dem Eliminations- problem fremd ist, zu bedienen, können wir aus der Congruenz der beiden letzten Gleichungssysteme vermuthen, dass dem Gleichungssysteme 1, 2, 3 ein anderes entsprechen müsse, in welchem die Seiten und Winkel bezüglich durch die Supplemente der Winkel und Seiten ersetzt sind. Und diese Ver- muthung lässt sich auch analytisch bestätigen. Denn aus 13) folgt unmittelbar:
1 G“ 5“ 5 5, a. 5. 5 a a 4
1 5 5“ 5* 0* d 2*= 5“ 6— a“ 5— ĩ* 2“
b“— a¹ 0 c— a* 5“ die Benutzung der Gleichungen 15) verwandelt diese Gleichung, nachdem man mit d' auf beiden Seiten wegdividirt hat, in: 1. c-* 5 — cotg æ cotg ⁸ 0 — cotg α 0 cotg⸗
5*◻= cotg. cotg+†. cotg. cotgæ+ 5'. cotg. cotg 5. Man hat daher wirklich das neue Gleichungssystem:
5“ 011 1— und nach einer leichten Transformation:
7
7„/— 5=.
oder entwickelt:
16) cotg. cotg⸗+ cotg). cotgæ. cose+ cotgæ. cotg β. cos b= cos c. cosb, 17) cotg. cotg. cose+ cotg. cotg æ+ cotg æ. cotg β◻. cosa= cosa. cose, 18) cotg. cotg. cos b+ cotg 7. cotg æ. cosa+ cotg. cotg= cos b. cosa;
dasselbe hätte man auch unmittelbar aus den Figuren 2 und 3 herleiten können, wie wir dies für das System 1, 2, 3 in§. 3 gethan haben. Dann hätten wir, in derselben Weise entwickelnd, daraus dieselben Resultate erhalten, wie aus 1, 2, 3, nur in umgekehrter Ordnung, d. h. die Gleichungs- systeme 16, 17, 18 und 1, 2, 3 sind als Fundamentalformeln zur Lösung der Hauptaufgaben gleich brauchbar oder äquivalent, und wir können bei Behandlung der übrigen Hauptaufgaben nach Belieben das eine oder das andere System zu Grunde legen, ohne dadurch zu wesentlich verschiedenen Re- sultaten zu gelangen, ja die letzteren werden sogar der Form nach übereinstimmen, sobald wir immer je zwei Hauptaufgaben so combiniren, dass in der einen das gegeben ist, was in der anderen gesucht wird und dann die eine Aufgabe vermittelst des ersten, die andere vermittelst des zweiten Systemes lösen. Ebendarum wird es im Folgenden genügen, die Lösungen aller noch übrigen Hauptaufgaben