2 cos(+ A). cos ¼½(.— A)„= 2 cos 4 6+ B). cos ¼ G— B) 2 cos ¼+ 0). cos ¼— 0) sin 5. sin?; coshus sin. sin æ 2 Losese sin. sin ⁵ 3 Wir können jetzt an die Lösung der zweiten Hauptaufgabe gehen, die Winkel aus den Seiten zu finden. Zu diesem Zwecke addirt man zu der den Werth Ræ ausdrückenden Determinante, welche wir gleich B C gefunden haben, die mit cosæx multiplicirte Determinante R, welche gleich d¹ ist,
c08 4=
so kommt: 4— e—, O+ dcos«= 0 1— a= 4(1— a*)= 4sin'«; 0— a 1
folglich ist, wenn man für BC seinen Werth§d¹. cotg b. cotge und für 4 seinen Werth. cotga substituirt und zuletzt mit dividirt: (cotg b. cotge+ cos æ)= cotga. sin“æ, und, wenn man die Cotangenten in Quotienten der Cosinusse und Sinusse auflöst, ... 2 3.(cos b. cos c+ sin 5. sin c. cos æ= Cosa 8inn:Ane. sin 2—. cosa= J. cosa. sin a 1 Man erhält daher nach der Division mit und wenn man dann die Buchstaben vertauscht, das System: [cosa= cosb. cos e+ sin b. sin c. cos æ, 12) cos b= cos c. cosa+ sin c. sin a. cosp, cos c= cosa. cosb+ sina. sin 5. cos, aus welchem die Cosinusse der Winkel α, 9, 7 gefunden werden können. Zur Erleichterung der logarithmischen Rechnung setze man hier cos b. cosc= cos A, cosc. cosa= cos B“, cosa. cos b= cos 0„
2sin 10-H B)-sin=— B), ,= 28in e 0-sin 3eC sin c. sin a 3 0087— sin a. sin5
wodurch 2sin ½ a+ 49. sin x(a— 4)
sin 5. sinc 3 gefunden wird.
Die drei Formen der Grösse d, welche durch die Gleichungen 8) definirt sind, stehen zu den drei Formen, welche vermöge der Gleichungen 6) besitzt, in einem ähnlichem Verhältniss, wie die Gleichungen 12) zu den Gleichungen 10); es ist deshalb zu erwarten, einmal, dass d in Bezug auf die Gleichungen 12) die nämliche Rolle spielen werde, wie d in Bezug auf die Gleichungen 10), dann aber auch, dass der Ausdruck von d in Function der Seiten allein in ähnlicher Weise gebildet sein werde, wie d als Function der Winkel erscheint. Wir wollen deshalb den Werth von d durch die Seiten des Dreiecks darstellen, was uns zu weiteren wiehtigen Folgerungen führen wird. Wir wissen, dass
d²2—= 424. 1²—
c08=
C08 ᷣ—=—
sin“x. sin?². sin; ferner ist die adjungirte Determinante der Determinante R, die wir R“ nennen wollen, gleich dem Quadrate von R, also gleich 5“, folglich ist:-
2
Sin a. sin 6. sin⸗f; Nun ist aber 1— al+ ab 5 Tea R'w= c+ ab 1— kz a+ he, b Tea a+ be 1—* folglich, wenn man berücksichtigt, dass 1— a“*, 1— 5b², 1—* bezüglich gleich sin“«x, sin:*, sin*⸗ ist, c+ ab b+ oa
1 sin. sin 65 sin. sin x 1 R“ c+ ab a+† bc d ²2=— 7———.. 1—— sin“. sin β. sin“7 sin æ. sin 6 sin β. sin7 b Xea a+ be 1
sin 7. sin« sin. sin? oder mit Zuziehung des Systemes 10) und, wenn man die Abkürzungen cosa= a“, cosb= 5'“, cosc= einführt: