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—(cos. cos?+ sin. sin,+ cos)[eos æ+(cos. cos— sin. sin?)], =—[cos(6—)+ cos a].[eos a+ cos(+)), =— 4 cos ½(+†+). cos ¼¾(—«+ †)). cos ¼(‧—+ 7). cos ½(a+†—)).
Mit den bekannten Bezeichnungen wird also
5) 3=— 4 c0s G. cos(—). cos(— S). cos(— P). Ferner folgt aus den Gleichungen 4): 3** 6²⁸ 3² sin'a= 4** sin² 5 B** sin' c*+ 0** cosia= 4 Gc08²5 cose= n. 1. 4* 3z5 51 6
Nun ist aber à*+‿ 4= 1— 2 abe— a*— b— c*+ a*+† 2 abe+ 52 c2=(1— 5*)(1— c*)= sin“*. sin“ u. s. w. Daher geht die erste Reihe von Gleichungen über in:
sin“a. sin*. sin'= sin*5. sin“. sin'«= sin¹c. sin' x. sin’⁵βᷣ ‧= 5*, oder, weil die Seiten und Winkel immer kleiner als 180°9 vorausgesetzt werden, die Sinusse also immer
positiv sind: 6) sin a. sin. sin= sinb. sin. sin«= sinc. sin a. sino=+ 3. Aus dieser Gleichung folgt zunächst die andere: 7) sina sinb sinc 3
sina sins sin; sina. sin 5. sin)
d. h. in Worten ausgedrückt: die Sinusse der Seiten verhalten sich wie die Sinusse der winkel; die Grösse———
sin. sin Gβ. sin7 wird kurzweg mit ² bezeichnet. Dadurch, dass man je zwei der letzten Gleichungen multiplicirt, erhält man noch ein neues Gleichungssystem:
8) sin a. sin b. sine= sin. sin c. sina= sin. sin a. sinb= d,
wo man unter d die Grösse à*. sin. sin ⁵. sin? zu verstehen hat. Zwischen à, ¼⁴ und d besteht die
ist positiv und führt den Namen Modulus des Dreiecks; sie
Relation: 9) du= d.
Ausserdem folgt aus der Division der Gleichungen 8) mit sin a. sinb. sine unter Berücksichtigung 1
von 7) dass auch noch 9)=
u sina. sin b. sinc
Andererseits ergibt die zweite Reihe der obigen Gleichungen: (cosæ+ cos H. cos)*„(cCos+ cos7. cos a)“ 1(cos+ cos æ. cos)“
—,—, C08 ²⁷=——; c080= 2——
sin¹ 6. sin“† sin“. sin“ œ sin“x. sin* und, wenn man die Quadratwurzel zieht: cos æ+ cos H. cosp cos ½+ cosT. cosaæ cos?+ cosæ. cos †
. 1*ℳ 0s5— cose= 3.
sin. sin7 sin. sin sin. sin
Hier ist überall auf der rechten Seite das positive Zeichen genommen worden; denn für den speciellen Fall, wo α= 90°, cos æ also= O ist, erhält man aus unseren Gleichungen: cos cos cos a=+ cotg. cotg, cosb= X— cose=ck dr2, wo aber die Vergleichung mit den Formeln 5, 6 und 6˙ des§. 2 zeigt, dass nur das positive Zeichen gelten kann. Aus den Gleichungen 4) folgt endlich mit Berücksichtigung unserer Resultate in Bezug auf die Zeichen: 11) 3. cotga= 4, d. cotgb= B, 4J. cotge= C. Die Formeln 10) und 11) lösen unsere erste Hauptaufgabe vollständig, haben aber den Nachtheil, dass man die logarithmische Rechnung nicht auf sie anwenden kann. Diesem Uebelstand kann man auf zweierlei Weise abhelfen, einmal dadurch, dass man die goniometrischen Functionen der halben Seiten in Function der Winkel ausdrückt, was wir weiter unten im Zusammenhange darlegen wollen, dann aber auch durch Einführung von Hülfswinkeln, indem man cos. cosy= cos A, cos. cosæ= cos B, cosæx. cosß= cos 0
setzt, wodurch die Gleichungen 10) übergehen in:
cosa=
10) cosa=