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1) tga= tgb. cos+tgc. cos H tga. tgb. tge. cos. cos, 2) tgb= tgc. cos«+tga. cos+tga. tgh. tge. cos æ. cos 7, 3) tge= tga. cos+ tg b. cosa+tga. tgh. tge. cos. cosæx.

Diese Gleichuugen sind neu und haben den Vortheil, dass in ihnen nur dieselbe Function der Seiten und nur dieselbe Function der Winkel vorkommt, nämlich die Tangenten der Seiten und die Cosinusse der Winkel. Sie entsprechen ferner genau den Gleichungen, wodurch für das ebene Dreieck die Projectionen zweier Seiten auf die dritte ausgedrückt werden. In der That, lässt man den Radius der Kugel, auf der sich das sphärische Dreieck befindet, fortwährend wachsen, ohne die Winkel und die absolute Länge der Seiten zu ändern, so kann man an der Grenze statt der Tangenten der Seiten die zugehörigen Bogen nehmen und das Produkt abe als von der dritten Ordunng gegen a, b, e ver- nachlässigen. Dadurch geht aber Gleichung 1) über in:

a= b cos+ cosg.

Aus diesem Grunde sind diese Gleichungen vorzüglich geeignet zur unmittelbaren Lösung aller Haupt- aufgaben der sphärischen Trigonometrie.

§. 4. Erste und zweite Hauptaufgabe.

Wir behandeln zuerst die Aufgabe, die Seiten zu finden, wenn alle drei Winkel gegeben sind, und im Anschluss daran die umgekehrte, die Winkel zu finden, wenn alle drei Seiten gegeben sind. Um nun aber die Fundamentalformeln des vorigen Paragraphen für diesen Zweck zur Rechnung mit Determinanten bequem zu machen, bedarf es einer Transformation derselben, die man erreicht, wenn man jede durch das Produkt tga. tgh. tge dividirt und statt der Tangenten Cotangenten setzt. Da- durch gehen sie nämlich, wenn man noch die Abkürzungen

cotg b. cotge= æ, cotge. cotga= J, cotga. cotgbh= e, cosa«= a, c08 Gβ= b, cos= G

einführt, über in: 1) x— c„— be= b,

2)—+„— as⸗=ac, 3)— bæ— ag+ 2=ha.

Daraus erhält man sofort, wenn die Determinante

1— e— b — ᷣ 1— a mit R bezeichnet wird:—5— 1 ch— e— 5 0— e— 5 Ra= ac 1—a= 0 1— a=(5+ ca)(c+ a⁰). ba— a 1 ba+†e— a 1

Ganz in der nämlichen Weise findet man Ry und Na, so dass für a+ be= 4, b+ca= B, c+ ab= C, Raæ= BO, R9= C4, RZ2= 4 B

wird. Indem man das Produkt von je zwei dieser Gleichungen durch die noch übrige dividirt und statt æ, 9, e ihre Werthe wieder einsetzt, ergibt sich:

4) R. cotga= A, R. cotg'b= B*, R. cotg'c= C“.

Aus diesen Gleichungen geht zunächst hervor, dass R eine positive Grösse ist, die man deshalb gleich* setzen kann; die Entwickelung der gleich geltenden Determinante gibt: 32= 1— 2 abe— a*— 5b2—,

oder auch, wenn man in derselben die erste Verticalreihe nach einander mit c und 5 multiplicirt und bezüglich zur zweiten und dritten Vertikalreihe addirt:

1 0 0

2=— e 1— c-—(a+ 5b)= sin“*. sin“—(cos æ+ cos. cos⸗)“. — b—(a+ 5) 1— 5²

Die rechte Seite dieser Gleichung zerlegt sich in das Produkt: