3 Diese Gleichungen gelten vorläufig nur unter den oben gemachten Beschränkungen, also für ein recht- winkeliges Dreieck, dessen Seiten und übrige Winkel= 90° sind. Setzt man aber die oben angegebenen Werthe von a¹, b., Gr,., 61, 71.3 43, bz,„,, 92, 72 3 44, b54, G, e, 6, 7e bezüglich statt a, 5, c,, 9, 7 in sie ein, so bleiben sie unverändert, ein Beweis, dass sie auch für die übrigen drei rechtwinkeligen Dreiecke, welche durch Bogen derselben grössten Kreise gebildet werden, folglich für alle rechtwinkelige Dreiecke Gültigkeit haben.
Aus obigen sechs Gleichungen kann man durch rein analytische Operationen noch vier andere herausbringen. Multiplicirt man nämlich die Gleichungen 2 und 3 und vergleicht das Product mit 1, so kommt: sinb tgb. tge sin 5. sin. cos a
sina tga. sinc sina. sin c. cos 5. cosc 4) cos a= cos b. cos c folgt. Die Gleichungen 1*¹, 2“*, 3˙9 ähnlich behandelt geben dasselbe Resultat. Multiplicirt man ferner die Gleichungen 3 und 3“ wußt Emancder, 80 st ig tg e. ts 8 tg 7= in 5. sinc cos 5. cos c 5) cos a= cotg β. cotg †. Dividirt man endlich 2 durch 1˙, so hat man cos tge. sina cosa cosb. cosc sin tga sine cose cosc cos β. sin die Division von 2*) durch 1) gibt das analoge Resultat
C08 6**)» eos e=— 2, sin
„ Woraus
oder mit Berücksichtigung von 4:
= cCos b oder
6) cos b=
wozu man auch durch Vertauschung der Buchstaben hätte gelangen können.
§. 3. Die Fundamentalformeln für das schiefwinkelige Dreieck.
Die im vorigen Paragraphen entwickelten zehn Gleichungen sind nothwendig und hinreichend, um alle Aufgaben, welche sich auf das rechtwinkelige Dreieck beziehen, zu lösen. Ohne uns dabei weiter aufzuhalten, schreiten wir sofort zur Entwickelung der Formeln für ein schiefwinkeliges Dreieck. Sobald wir uns dabei auf Dreiecke beschränken, deren Seiten und Winkel kleiner sind als 180° d. h. auf convexe dreiseitige Ecken, erkennen wir, dass jedes schiefwinkelige Dreieck dieser Art durch eine von der Spitze gefällte Höhe als die Summe oder Differenz zweier rechtwinkeliger Dreiecke im all- gemeinsten Sinne, wie wir sie oben betrachtet haben, angesehen werden kann, je nachdem der Fuss- punkt der Höhe auf der Grundlinie oder ihrer Verlängerung liegt. Nehmen wir zunächst den ersten Fall(ig. 2), 80 ist tg= cos. tg e, A.
und tg= cos 7. tg 5. Im zweiten Fall(Fig. 3) hat man tg= cos(1800— S) tge, tg à7= cos 7. tg 5. Im ersten Falle folgt nun hieraus: tg 3 4. 32)=tga= cos. tge+ cos. tgb.
1— cosg. cos 7. tg?. tge im zweiten Falle erhält man für tg ³— 9)= tga dasselbe Resultat, so dass also für alle Fälle cos. tge+ cos/. tg 5⁵ 1— cos. cos. tgb. tgc ist. Durch Wegschaffung des Nenners auf der rechten Seite, andere Anordnung der entstehenden Posten und nachfolgende Vertauschung der Buchstaben entwickelt sich daraus folgendes System von drei Fundamentalgleichungen:
tga=