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§. 2. Das rechtwinkelige Dreieck.

Um uns auf alle Fälle zu rüsten, wollen wir zuerst in Betracht ziehen, welche rechtwinkelige Dreiecke auf der Oberfläche einer Kugel durch drei grösste Kreise entstehen können, von denen zwei aufeinander senkrecht stehen. Durch drei grösste Kreise zerfällt die Oberfläche einer Kugel über- haupt in acht Dreiecke, von denen je zwei gegenüber liegende Scheiteldreiecke, also symmetrisch gleich sind und je zwei anliegende sich zu einem Kugelzweieck ergänzen. Die Dreiecke eines Paares der ersten Art sind nicht wesentlich verschieden, da sie dieselben Stücke, nur in umgekehrter Reihen- folge, enthalten. Die Dreiecke eines Paares der zweiten Art aber unterscheiden sich nicht bloss der Ordnung nach, in der die Stücke aufeinanderfolgen, sondern auch durch die Grösse dieser Stücke selber. Hat ein Dreieck der zweiten Art die Stücke a, 5, c, α,„, 7, wo a ein Rechter ist, so gibt es noch drei davon verschiedene rechtwinkelige Dreiecke, welche von Bogen derselben grössten Kreise eingeschlossen werden, und zwar hat dann das erste die Stücke: a.= 180°— a, 5.= 180°— b, G1)= Cc, a.y= a= 1 R,.= 1800— S, 7.= 7; das zweite hat die Stücke: a,= 1800— a, 5,= b, Gc.= 180°— c, a)y== 1R, 6,= 9, 72= 1800— 7; das dritte endlich: a= a, 5.= 1805— b, c.= 1800— c, a=«= 1 R, 5= 1800—, 7.= 1800— 7.

Aus dieser Uebersicht folgt, dass unter den vier rechtwinkeligen, wesentlich verschiedenen Dreiecken, welche durch drei grösste Kreise gebildet werden können, eines existiren muss, in welchem die beiden Katheten sowohl als auch die beiden gegenüber liegenden Winkel zugleich kleiner sind als 90 ⁰% während von den übrigen das eine Katheten und Winkel besitzt, welche zugleich grösser sind als 90° aber kleiner als 180 ⁰„ und die beiden anderen eine Kathete, die zugleich mit dem gegeniber liegenden Winkel kleiner als 90 ‧„ und eine Kathete, die zugleich mit dem gegenüber liegenden Winkel grösser ist als 90° aber kleiner als 180⁰.

Wir wollen unsere Untersuchung beginnen mit einem Dreieck, in welchem die Katheten und die gegenüber liegenden Winkel kleiner sind als 90 ⁰; in einem solchen ist nothwendigerweise auch die Hypotenuse kleiner als 90°. Denken wir uns demgemäss eine rechtwinkelige dreiseitige Ecke, deren Seiten und Winkel diese Eigenschaft haben; in der nebenstehenden Figur, welche eine solche Ecke zeigt, sei o der Scheitel und die Seite ο stehe senkrecht auf der Seite 3. Man lege durch eine auf senkrechte Ebene, welche die zwei übrigen Kanten der Ecke in d und e schneidet; diese Ebene ist die Neigungsebene der Seiten ᷣ und und

— Ae steht auf ihnen senkrecht. Zwei Ebenen ˙% und 0, welche auf — einer dritten 0. senkrecht stehen, schneiden sich aber in einer — Geraden εd, welche auf 0o senkrecht steht; daher sind die Drei-

ecke οò und rechtwinkelig. Man hat nun:

Fig. 1.. 8— 29 1r 292 762 e, 1s 6 z. : 3 23 20 sin ³ e, t 306= 5; tg 3= 5; = 44 24, 4— 68. gin eo= 9“, tg og= zs; sin J= 55

Dividirt man die zwei letzten in je einer Columne stehenden Gleichungen durch einander und ver- gleicht die Quotienten mit der ersten, so erhält man die drei neuen Gleichungen:

sin 8 tg J08 tg 03 sin 293 76= e co; t&6 Ssin Jg

Aus einer mit dem Radius 0ᷣo um o beschriebenen Kugel wird durch die Ecke das sphärische Dreieck herausgeschnitten, und mit den üblichen Bezeichnungen heissen dann die letzten Gleichungen:

sin e=

. Ssin 5 tge z5 1) sin= Ima' 2) cos 6= 2“ 3) ts 5=e, wozu durch Vertauschung der Buchstaben noch folgende hinzutreten: , ine. tg 5 2 tgec 1*) sin ⸗= Ina' 2) Cos— ſga: 3) ts)= z