Die Hauptaufgaben der sphärischen Trigonometrie,

zurückgeführt auf ein einziges System von drei simultanen Gleichungen.

Von Gymnasiallehrer Dr. F. X. Stoll.

§. 1. Einleitung und Begrenzung der Aufgabe.

Die Veranlassung zu der folgenden Arbeit gab das Programm des Herrn Diekmann„Ueber die Zurückführung der Hauptaufgaben der Trigonometrie auf ein System von drei linearen, simultanen Gleichungen“, Essen 1877, in dem derselbe in dankenswerther Weise aus den Formeln, welche die Projectionen zweier Seiten eines ebenen Dreiecks auf die dritte bestimmen, alle Sätze der ebenen Trigonometrie entwickelt und ihren inneren organischen Zusammenhang nachgewiesen hat. Weil die Formeln, von denen er ausging, linearer Natur waren, so konnte er sich dabei des Hülfsmittels der Determinanten bedienen und für alle Hauptaufgaben der ebenen Trigonometrie ebenso einfache als elegante Lösungen geben. Nicht mit demselben Erfolge hat er es versucht, die Formeln der sphärischen Trigonometrie auf algebraische Elimination zurückzuführen, einestheils, weil die von ihm(Seite 24) aufgestellten Fundamentalgleichungen schon die Kenntniss einer Hauptgleichnng der sphärischen Tri- gonometrie(cos a= cos b cos e+ sin a sin 5 cos) vorausssetzen, während sie unmittelbar aus den gegebenen Stücken oder aus Gleichungen, welche den Projectionsformeln der ebenen Trigonometrie entsprechen, hergeleitet werden müssten, anderntheils, weil sie selbst schon so complicirter Art sind, dass man nur durch weitläufige Transformationen die übrigen Sätze der sphärischen Trigonometrie aus ihnen gewinnen kann. Dies hat auch Herr Diekmann selbst eingesehen, und nachdem er ein Beispiel für die Anwendung seiner Formeln gegeben, die Sache abgebrochen. Indem ich nun da an- fange zu bauen, wo Herr Diekmann aufgehört hat, kann ich allerdings nicht versprechen, in ebenso einfacher und übersichtlicher Weise, wie dies von jenem für die ebene Trigonometrie geschehen ist, meine Aufgabe zu lösen. Dies liegt jedoch zum Theil in der Natur derselben, indem die Seiten eines sphärischen Dreiecks nicht wie dort unmittelbar in Rechnung gebracht werden können, sondern statt derselben ihre goniometrischen Functionen, deren Zusammenhang unter sich wesentlich durch quadratische Gleichungen gegeben ist, so dass die Aufstellung eines linearen Systems von Fundamentalgleichungen immer nur für eine bestimmte Art derselben, nämlich entweder für die Sinusse oder die Cosinusse oder die Tangenten der Seiten oder für eine aus denselben gebildete Function derselben Art möglich ist; sobald aber neben den Sinussen auch die Cosinusse oder Tangenten der Seiten in den Formeln vorkommen, complicirt sich die Rechnung ungemein, weil man dann wenigstens quadratische Gleichungen, sehr oft aber auch Gleichungen höherer Grade zu lösen hat.

Zunächst kommt es also darauf an, ein System von Formeln zu entwickeln, in welchen die- selben Functionen der Seiten oder Functionen dieser Functionen, wo möglich im ersten Grade vor- kommen. Schon die Rücksicht auf den pädagogischen Grundsatz, dass man vom Einfachen und Be- sonderen zum Zusammengesetzten und Allgemeinen aufsteigen müsse, nicht aber umgekehrt, wird es zweckmässig erscheinen lassen, zuerst den Sinus, Cosinus und die Tangente eines Winkels im recht- winkeligen sphärischen Dreieck durch Functionen der Seiten darzustellen, wie man ja auch in der ebenen Trigonometrie zuerst an dem rechtwinkeligen Dreiecke die Begriffe dieser Functionen festzu- stellen pflegt, ehe man zur Berechnung des schiefwinkeligen Dreiecks übergeht. Dazu kommt noch die Ueberlegung, dass eine Projection zweier Seiten eines sphärischen Dreiecks auf die dritte nur dann möxglich ist, wenn man wie bei dem ebenen Dreieck dasselbe durch eine von der Spitze gefällte Höhe in zwei rechtwinkelige zerlegt und jedes Segment der Grundlinie als Function der Seiten und Winkel ausdrückt. Eine solche Projection ist aber unbedingt nöthig, wenn man zu Formeln gelangen will, welche den von Diekmann für die ebene Trigonometrie zu Grunde gelegten analog sind.

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