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de. 1r du: ae dha s 71— 774 Man hat demnach als Lösung unendlich viele Kugeln von demselben Radius, deren Mittelpunkte alle denselben Abstand von der 2 Ebene haben. Auch diese Lösung kann noch einmal illusorisch werden, wenn die Un-

terdeterminante:

1—22 a, di⸗. A 71.—9.

x 71— 12

As 71— 173 verschwindet, was geschieht, sobald alle vier Kugeln einen und densel- ben Kegel in einem Fache desselben berühren.

Ein weiterer Fall, in welchem( Null wird, ist der, wenn

11— 1.= r— r.=r— r.= 0 ist. Die Radien der vier gegebenen Kugeln sind dann gleich und die Bedingungs- gleichung für die Möglichkeit dieses Falles ist:

2 92 a. †. 322 l 63 222 4 7= 0, 2 694 4 5* 64 deren geometrische Bedeutung folgende ist: Wenn man einen Kreis durch die Mittelpunkte 1, 2 und 3 legt, so geht derselbe auch durch den Mittelpunkt 4. Denn nennt man den Radius dieses Kreises R, so hat man unter dieser Voraussetzung die Gleichungen: † 9*— 72² (— a) †(6—.)“= R“ (æ— a.) †(8— 64)= R. (? B+(9— S)“= R'. Zieht man von der ersten dieser Gleichungen nacheinander die zweite, dritte und vierte ab, so erhält man die drei Gleichungen:

2 αα † 29—(. † 9,²)= 0,

2 α,+ 2 9—(a.+† 94)= 0,

2 αα‿.+ 2 G◻/—(α+£ 5.)= 0,

aus denen sich unmittelbar obige Bedingungsgleichung ergibt. Man hat ferner unter dieser Voraussetzung: 62 9? 4. 922.. a d+ 5,. a 62 63 d*+, 7 ½+ι(s 62 während V unbestimmt bleibt; d. h. man erhält unendlich viele Schnitt- bezüglich Berührungskugeln von verschiedenen Radien, deren Mit- telpunkte alle auf einer geraden Linie liegen, die auf der æᷣ Ebene senkrecht steht. IIlusorisch wird auch dieser Fall, wenn die letzte Unterdeter- minante Null ist, d. h. wenn:

Aα::1=

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