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oder in der Normalform:

R“ cos N cos N2—(NRI+ ²) cos* 9 4 2 1 4—= r. cos o.

N R VYere. N Die Entfernung dieser Ebenen vom Mittelpunkt 1 ist demnach„, cos und da man jeden der drei anderen Mittelpunkte als Anfangspunkt der Coordinaten annehmen kann, so sind dieselben durch je drei ihrer vier Entfernungen 7, coso, 1. COs, T Cos, 74 coͥsco von den vier Mittelpunkten vollständig be- stimmt. Ist gleich Null, so werden diese Ebenen zu den äusseren Tangential- ebenen an die vier Kugeln. Die Determinante kann übrigens auch noch unter anderen Umständen Null werden, unter andern dadurch, dass man in ihr die Unterdeterminanten von.— r, T.— r., r.— r gleich Null setzt; man hat dann:

44= a2= A. 6. 5. d. h. die Mittelpunkte der vier Kugeln liegen auf einer geraden Linie in der æ Ebene. Nimmt man an, die x Achse sei diese Linie, d. h. alle 9 seien Null, so hat man die drei Gleichungen: 2 α☚ᷣ— 2(r.— r.) YI— d.= 0, 2 G.. 0— 2(7. 13) T— d= 0, 2 ααᷣ— 2(r.— r.) I— d.= O0. Sollen diese Gleichungen zu gleicher Zeit bestehen, so muss die Bedingungsgleichung erfüllt sein: A. 11 72 dis . 21— 73 dlis a. r.— r. di. Dieselbe bedeutet, dass eine Kugel, welche drei der gegebenen Kugeln in gleicher Weise berührt, auch die vierte in derselben Weise be- rühren muss. Denn als Ausdruck dieses Verhaltens gelten die Gleichungen: &£μι,+=(r+ r.)“ (a—.½)* † 9*% 7˙*=(r 4 72)“, (&—— a²)“—†**=(r † 7.)“ (α-— Qan)+ 5*+‿*=(r † 1.)“. Zieht man von der ersten dieser Gleichungen die folgenden ab, so erhält man nach kurzer Reduction mit Anwendung unserer früheren Bezeichnungsweise die obigen drei Gleichungen wieder. Da nach der Voraussetzung ,= 9,= 95.= 0, 80 ist auch R’= NR“= 0, und die Grössen 2, 25, 2 F erscheinen unter der Form 9; jedoch bleibt nur unbestimmt, denn zur Bestimmung von« und F besteht, wie aus den obigen drei Gleichungen hervorgeht, die Proportion: