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arx a, a.

6, 66 64 oder wenn die Mittelpunkte auf einer geraden Linie liegen, die be- kanntlich als ein Kreis mit unendlich grossem Radius angesehen werden kann; dann gehört die Aufgabe zugleich dem vorigen Fall an und es lässt sich ein Cylinder um die vier Kugeln legen. Man hat dann als Lösung un- endlich viele Ebenen, welche der Axe jenes Cylinders parallel sind.

Die ganze Untersuchung ändert sich nicht, wenn die übrigen sieben Paare conjugirter Schnitt- bezüglich Berührungskugeln ins Auge gefasst werden. So hat man für das zweite Paar in allen obigen Formeln, negativ zu setzen; dadurch gehen: dli— a. 4+ 92¹ † 72*(r. 73)“ über in Ju2— a+ 5* 4 72(r.*† 72)“, — 2 2— 2 2 ch= er †. 9. 72(1 72)“ 87„ J1=&+ 4+ 74—(. † 1a)“ d.= a. 9. † 7.(r. r.)„„ 914= 4 † 4 1 7.— G. † r.)“ während die übrigen Kantenquadrate unverändert bleiben; man hat daher:

0. 2 3. 4

13

9 0 da d. 2 F

41 4.=— 1 D. 12 23 24= 4 D² H,² P.*² — 4 4 Jus dlis 0 da 1 23

G. da d 0

wenn man mit V, das Volumen des Tetraeders, dessen Kantenquadrate ,,, J1r, daa, dea, das sind, und mit N, den Radius der diesem Tetraeder umschriebenen Kugel bezeichmet. Dabei ist zu bemerken, dass sich die betreffenden Kugeln schnei- den oder einschliessen, sobald eines der Kantenquadrate, s,, negativ wird. Hiernach wird die Aufgabe umnöglich, wenn:

1) negativ, a, J4, daa, daa, das Positiv; oder negativ,.2, d,4, d 4, da, das positiv; oder, negativ, 2, J, d, da, as Positiv; 2) da. negativ, J,½,—, 1, d, das Positiv; oder d.. negativ,, 3,3, J4, da., das positiv; oder d, negativ, ,, a, a, daa, d. Positiv; 3) N⸗, A negativ, Ju4, Claa dau. das positiv; oder Jis, Ji negativ. Nu⸗, da.(au. da Positiv; oder ⁴, negativ,, daa, daa, das pPositiv; 4) da., de, negativ, dGas, J2,.s,—14 Positiv; oder de, ds negativ, da, 12, d3, . Positiv; oder d,,, da, negativ, da, Is,, 3,4 positiv; 4*