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thogonal schneidet. Unter dieser Voraussetzung schneiden sich aber alle 4 Kugeln in zwei Punkten. Denn setzt man in den Gleichungen 1—4 7e= 7.= 7.= O und sieht die z,,* als demselben Punkte angehörig an, so fol- gen durch Subtraction die Gleichungen:

2 π+ϑ 2( dia 2r.(r.— r.),

2+ 2%= d+ 271(r.— 1.)

2 a. x+% 2 4 9= di † 2r(r.— r.),

woraus sich obige Voraussetzung ergibt. Um die Coordinaten der Schnittpunkte zu finden, beachte man, dass aus diesen Gleichungen sowohl:* 2&. 42— di* t 2 71(71— r.) 62

Ceg 62 dis † 27..) 63 4

als auch 2 G 4.— dis † 2r.(r.— r.) 64

2 94 dia † 27r.(r.— 1.) 2 3

dl1+ 2— 9 als anch 22 ℳ 9s d3 271(1.*2) ſ⸗ folgt. 4 94 clu+ 2 7r1(r.— r.) 6. Multiplicirt man die erste dieser Gleichungen mit.— r, die zweite mit—(r.— r.). die dritte mit—(r.— r.) und addirt, so erhält man:

Ce 62 71— 22 dlis+ 2 71(r.— 13) 62 71— 7. dl⸗ 62 71—12 2+ 2 65 71— 273 dis+2 71(r.— r.) 2 1 3— dis 65 71— 17½ 2 694 71 14 dia † 271(r.—7.) 64 24—1 d.. 94 91— 24

oder 2 Cæ=— R“; ebenso erhält man 2 09%=+ R. Aus der Gleichung 1 folgt

72 2742 2) dann 2=+ V=—ErE„ oder da Nu‿ 27. 0= O ist, 2= X ViE man hat also in der That zwei Schnittpunkte, welche symmetrisch oberhalb und unterhalb der æ Ebene liegen. Vergleicht man die eben gefundenen Coordinaten dieser Schnittpunkte mit den oben in Gleichung 39 und 40 gegebenen Werthen der Coordinaten der Mittelpunkte der Schnittkugeln, so sieht man, dass sie iden- tisch sind. Aber auch die Schnittkugeln selbst degeneriren in diesem Falle in eben jene zwei Schnittpunkte der gegebenen Kugeln. Denn da die Gleichung der Schnitt- kugeln(—.²*†(— S)+(2— †)“= r' heisst und oben gefunden wurde

N“ 6—. 2= 2r cos † 27.=— 0' so erhält man nach Einsetzung der Werthe von

a.,, und unter Berücksichtigung der Relation N“ 27. ,00=0:

—-*² N I² VR(EI N⁵*) 2 (-o) C- 20 le⸗ 15.

d. h. die oben gefundenen zwei Punkte.