— 3—

dz 4. 2(h— 2)[2az— c2(h= ²)] dt—. a?²+ 2a2

Das positive Vorzeichen entspricht dem Steigen, das negative dem Fallen des beweglichen

(4)

Punktes. Für Maxima und Minima von 2 muss.= osein, und dies ist nach Gleichung(4) der Fall— und 2=.rhee. i8t der Pall, wenn z=h und=.e st.

Nimmt man an, dass sich der materielle Punkt auf der Brachystochrone zwischen den beiden gegebenen Punkten bewegt und dann seine Bewegung nach den Bedingungen des zurückgelegten Weges fortgesetzt, so wird er schliesslich einen tiefsten Ort erreichen und von da vermöge der erlangten Geschwindigkeit wieder in die Höhe steigen. Ueber- haupt wird sich der materielle Punkt zwischen den beiden durch

ozh 2a+ ²

bestimmten Parallelkreisen bewegen, und es soll im folgenden unter Brachystochrone der ganze Verlauf der Curve auf dem Rotationsparaboloid verstanden werden.

z=h und z=

II.

Aus Gleichung(4) ergibt sich

2

dt V a²+ 2az, VW a.2a⸗—„ 2g(h z)2az— cs(h ²). conh Nd2, 2 a on 6—=⸗ e he)

2

a?²+ 2az 5—— Br er hd⸗...(5).

Wir setzen Gos 3 5 2a+. 0*— czh— 2(2a+. 0²) ceh ci¹h— h(2a+. c²)“ Da+* as geschehen kann, weil h.2— ist; d ird was g, wei 2a4 G; dann wi c*h+ 2ah cos* 9. 2ah sin ²9.

— 4ah: aafe 2—— cos dsin dν, h— 2= a