— 2 mithin geht die obige Differentialgleichung über in: dx dy. v.d ds V l ds W. 0 und hierzu hat man als erstes Integral ydx— xdy= ds V(h— z. c,....(2)

wobei c eine von den Coordinaten der beiden gegebenen Punkte abhängige Integrations- constante bedeutet.

Wenn die beiden gegebenen Punkte auf derselben Meridianparabel liegen, dann wird o. also ſ d— 0, -

Vo YI folglich, da nach Gleichung(2)

d.x. 3 VAE —— cds.y² V(h— ²)= O0.

ds VCh— 2). G ist, 3)

Dies ist nur möglich, wenn c= 0; mithin ist in dem beregten Falle d= 0,= y 7 v Yo

d. h. Wenn Ausgangs und Zielpunkt auf derselben Meridianparabel liegen, dann ist die Brachystochrone die Parabel selbst.

Durch Einführung von Polarcoordinaten X= r cos, y= r sin geht die Gleichung (2) über in

r 2d— t.(3), g

d. h. die von der Projection des Radiusrector in jedem Augenblicke beschriebene Fläche ist dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional.

Da die Anfangsgeschwindigkeit gleich Null ist, folgt für den Anfang der Brachy- d stochrone(4)=o mithin berührt die Brachystrochrone die durch den Ausgangspunkt

bestimmte Meridianparabel. Aus Gleichung(2) und aus der Differentialgleichung der Parabel ergeben sich Ny2dx²— dx dy+ X2dy?= ds²(h— z). c² X2dX“+ 2xydxdy+. ydy:= a“: dz* + y)(dx²+ dy ²)= adzz+ csdss(h— 2), 2az(ſ— dz²+ 2(h— 2) dt*)= a2 dz*+ c²2(h— 2) 2dt:,