A. Die Brachystochrone auf dem Rotationsparaboloid.

1.

Wenn ein materieller Punkt sich von einem Punkte des Rotationsparaboloids nach einem andern in der kürzesten Zeit bewegen soll, so muss er, falls er nur der Schwere unterworfen wird, die Brachystochrone zwischen beiden Punkten beschreiben.

Die Anfangslage des materiellen Punktes sei durch die Coordinaten X= XI, y= o, z=h und der Zielpunkt durch die Coordinaten X= Xo, y= yo, 2= 20 bestimmt. Da die Anfangsgeschwindigkeit gleich Null ist, so wird

dieses Integral muss bei der vorgeschriebenen Bewegung ein Minimum werden.

Dies ist, wie die Variationsrechnung lehrt, der Fall, wenn die folgende Diffferential- gleichung erfüllt ist;

4 0U. 4 0U ( 0ꝗ) v-(EL 31) X= e, 2. Sy dz wobei X2+ VF2= 22az....(1) als Gleichung des Rotationsparaboloids zu Grunde gelegt ist, und-r= 9-E= q, 2 2 2 WL= U gesetzt sind. V 28 2) 1 9U Nun ist 3— 2p—— dx dz dz VI+ p⸗+f* V2g(h— 2) 0U

Sy d⸗ ds WI+ p⸗+ 4* V2g(h— 2)