Direkte Entwicklung der Neperſchen Analogien. 23

auswendig zu lernenden Formeln noch vermehrt. Dabei iſt zu bedenken, daß für die anderen Fälle, wenn zwei Winkel und die Zwpiſchenſeite, die drei Seiten, die drei Winkel gegeben ſind, wieder andere Subſtitutions⸗ formeln zu merken ſind. Die Schwierigkeiten werden noch größer, wenn die Stücke des Dreiecks nicht mit den Buchſtaben a, b, c, ², 5, 7 be⸗ zeichnet ſind, ſondern eine andere weniger einfache Bezeichnung haben, wie es bei den Aufgaben in der ſphäriſchen Aſtronomie und mathematiſchen Geographie der Fall iſt. Die beiden Koſinusſätze ſind aber bei ihrer Anwendung äußerſt leicht und bequem zu handhaben.— Wenn aus b, c, à die dritte Seite a gefunden iſt, ſo können die Winkel 5 und † in den meiſten Fällen nach dem Sinusſatz berechnet werden. Wenn man die für das allgemeine Dreieck geltenden Kriterien anwendet, ſo kann man in vielen Fällen feſtſtellen, ob der ſpitze oder der ſtumpfe Winkel genommen werden muß. Kann durch dieſe Kriterien nicht entſchieden werden, welche Werte zu nehmen ſind, ſo ſind die Neperſchen Analogien anzuwenden. Dieſe können auch dann benutzt werden, wenn beiſpielsweiſe aus zwei Seiten und dem eingeſchloſſenen Winkel nicht die dritte Seite, ſondern nur die beiden anderen Winkel geſucht werden. In meinen Ele⸗ menten der ſphäriſchen Aſtronomie und mathematiſchen Geo⸗ graphie habe ich in§ 5 alle einſchlägigen Fälle an Beiſpielen beſprochen.

Der Kotangentenſatz kann völlig entbehrt werden. Was die Anwendung der Gaußiſchen Formeln betrifft, ſo möchte ich dieſe gegenüber den Neperſchen Analogien doch nicht empfehlen, wenn jene auch einen Vorteil mehr gewähren. Dieſer beſteht z. B. darin, daß bei der Berechnung der Winkel und 7 aus b, c, à die dritte Seite a zugleich mitberechnet wird, während dieſe Seite bei der Anwendung der Analogien nach dem Sinusſatz oder nach einer von den weiteren Ana⸗ logien geſucht werden müßte. Trotzdem iſt die Anwendung der Neper⸗ ſchen Analogien derjenigen der Gaußiſchen Gleichungen vorzuziehen, da ſie ſich dem Gedächtnis leichter einprägen und da das Rechnungsſchema ſich bei jenen einfacher geſtaltet.

III. Direkte Entwicklung der Neperſchen Analogien.

Die Neperſchen Analogien werden gewöhnlich aus den Gaußiſchen Formeln abgeleitet. Wenn man aber auf die Anwendung der letzteren verzichten will, ſo empfiehlt es ſich, die Neperſchen Analogien direkt