16 Ebene Trigonometrie.

II. Die allgemeine Gültigkeit der Formeln für sin(.) und cos(£☛ 6) läßt ſich für Winkel in beliebigen Quadranten, auch für ſolche, die größer ſind als 360⁰, nachweiſen, ohne daß es dazu einer Zeichnung bedarf. In folgenden Beiſpielen ſoll der Inder den Quadranten bezeichnen, und die Bezeichnung ohne Inder ſoll den zugehörigen ſpitzen Winkel bedeuten, z. B.:= 180⁰°+ a,= B.+† 360°= 360°+† 180⁰— h. 1) sin(.+ 83). 2½= 180⁰— à,.= 180⁰°+ 8; 2+ 83= 360⁰°+% 5—=— 2. sin(72+ Sz)= sSin(6— ²)= sin 8 cos à— cos h sin à= (— sin 5z.)-(ä— cos à)—(— cos§3)-(sin ³ν)= Sin, cos 2.+ Cos S,- sin dν)ꝓ= sin ν cos,+ cos ν sin B. 2) cos(2.+. 5).

22= 180 ⁰—;)+ 5= 180°—(2—).

cos(à.)+. S)= cos(1800—[2.—[)=— cos(à— 5)= — cos a cos ß— sind sinß=—(— cos 2 cos 5) — sin ,, sin= cos αν cos ſ— sin ⁊ sin b.

3) sin(2.— S). 41= 360°+ 180°+† 2, E.= 360°+ 3; a,— 5,= 180⁰°+(4— 5). sin(a— S.)= Sin(1800—[6— a])= sin(— a)= sin cos a— cosh sin a= sin,(— cos 2)— cos.(— sin)= sin à, cos B,— cos à, sin e. 4) cos(à16— 56). 210= 720°+. 1800— a, 29= 360+ 180⁰— 3, 36— 36= 360⁰°—(2— 5). cos(416— S6)= cos(3600— ſa—])= cos(1—)= cos 2 cos+ sina sin ß=(— cos ³ι)(— cos Sa)+(— sin ³)(— sin 5.) = Cos α cos G.+ sin sin 5a.

I.

1) Einfache Entwicklung der Formel sin(+† 6)= sin à⁴ cos + cos⁊ sin ſ. Der doppelte Inhalt des Dreiecks ABC, 2/% iſt gleich be sin(2+ 22) (Fig. 23). Andererſeits iſt 2/ᷣ=ch sin au + bh sin, wenn AD=h ſenkrecht zu BC gezogen wird. Aus be sin(22+ 2)= ch sin£ ph sin°½ folgt, wenn beide Fig. 23. Seiten durch be dividiert werden: