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linie ſind alſo AB“ und A“B7.(Fig 14), Bei dieſer Aufgabe können eine Reihe beſonderer Fälle erwähnt werden Wenn z. B. die horizontalen Spuren beider Ebenen parallel ſind, ſoiſt die, Durch⸗ ſchnittslinie derſelben parallel zur H.E. Oder wenn die eine Ebene ſenkrecht ſteht zux JI. E., ſo, fällt die H. P. der Durchſchnittslinie mit der horizontalen Spur dieſer Ebene zuſammen. rn, g,

Eine beſondere Betrachtung erfordert die Löſung folgender Aufgabe: eeem e

3. Die Neigungswinkel einer durch ihre Spuren gegebenen Ebenk mit

den Projektionsebenen zu beſtimmen.. 1n 141 Fiig ei zr es 1. Um dieſe Aufgabe zu löſen, konſtruiere man den Neigungswinkel des Flächenwinkels der ge⸗ gebenen Ebene mit der H.E. auf folgende Weiſe: Man fälle von einem beliebigen Punkte der ge⸗ gebenen Ebene, am zweckmäßigſten von einem Punkte der vertikalen Spur derſelben, A, ein Lot auf die H.E.(Fig. 15). Dieſes fällt in die V. E. und ſteht ſenkrecht zur Achſe. Von dem Fußpunkte desſelben, A“, fälle man ein Lot auf die horizontale Spur, A/B, und verbinde den Fußpunkt des⸗ ſelben mit dem Anfangspunkt des erſten Lotes. Dann iſt dieſe Gerade die Hypotenuſe eines rechtwink⸗ ligen Dreiecks, die in der gebenenen Ebene liegt und auf der horizontalen Spur ſenkrecht ſteht. Mit⸗ hin bildet dieſe Hypotenuſe mit dem zweiten Lote den geſuchten Neigungswinkel. Alles dieſes zeige man an einem geeigneten Modell. Um dieſes rechtwinklige Dreieck zu konſtruieren, das im Raume zwiſchen den beiden Projektionsebenen liegt und ſenkrecht zur H. E. ſteht, ſchlage man das zweite Lot A'B von dem Fußpunkte des erſten Lotes auf die Achſe, A'C= A'B, und verbinde Cmit A“. Analog iſt der Neigungswinkel der Ebene mit der V. E.,s, zu konſtruieren.. i.IIe

Eine Umkehrung dieſer Aufgabe iſt die: Aus der horizontalen Spur einer Ebene und ihrem Neigungswinkel mit der H. E. die vertikale Spur derſelben zu konſtruieren. 3.

Als beſonderer Fall kann hier derjenige erwähnt werden, wenn die Ebene ſchief zu beiden Projektionsebenen und parallel zur Achſe iſt. Unerwähnt dürfen diejenigen Fälle nicht bleiben, wo die Ebene ſenkrecht zu einer der Projektionsebenen iſt, weil dieſelben ſpäter zur Anwendung kommen. Wenn z. B. die Ebene ſenkrecht zur H. E. und ſchief zur V. E. ſteht, ſo iſt der Neigungswinkel der⸗ ſelben mit der H.E. gleich dem Winkel, den die zweite Spur mit der Achſe bildet, und der Neigungswinkel, den die Ebene mit der V. E. bildet, gleich dem ſpitzen Winkel, den die erſte Spur mit der Achſe bildet.(Fig. 16).

Von anderen Aufgaben, die im Anſchluſſe an die vorhergegangen gelöſt werden können, will ich noch etwa folgende erwähnen: 4)„Die Spuren einer Ebene und die Projektionen einer dieſe Ebene ſchneidenden Geraden ſind gegeben. Man ſoll die Projektionen des Durchſchnittspunktes dieſer Geraden mit der Ebene konſtruieren.“ 5)„Gegeben iſt eine Ebene durch ihre Spuren und außerhalb derſelben ein Punkt, von dem aus eine Senkrechte auf die Ebene gefällt werden ſoll. Es ſollen die Projek⸗ tionen dieſer Senkrechten und ihre wahre Länge(der Abſtand des Punktes von der Ebene) konſtruiert werden.“ 1

Von der Ausführung dieſer und ähnlicher Aufgaben wird man indeſſen mit Rückſicht auf die dem Unterricht zugewieſene Zeit in der Regel Abſtand nehmen müſſen..

VI.

ſach Es handelt ſich jetzt darum, aus den Projektionen einer Figur ihre wahre Geſtalt zu uchen.—

Die Grundlage für dieſe Aufgabe bildet folgende Aufgabe:„Von einer Ebene, die ſchief zu beiden Projektionsebenen iſt, iſt die erſte Spur E’gegeben; ſie iſt außer⸗ dem beſtimmt durch die Projektionen eines in ihr liegenden Punktes P. Die Ebene ſoll um ihre Spur E' ſoweit gedreht werden, bis ſie in die IHI.E. fällt; dadurch wird auch der Punkt P in die H.E. herabgeſchlagen, und es ſoll dann der⸗ jenige Punkt(P) der H. E. beſtimmt werden, in den Pfällt.“ Auflöſung.(Fig. 17). Von P⸗ aus fälle man eine Senkrechte auf E“, P'A, und verbinde A mit P, ſo bilden dieſe Geraden und PP' ein