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rechtwinkliges Dreieck, das durch die Katheten P⸗A und Pl' beſtimmt iſt. Letztere iſt bekanntlich gleich dem Abſtande der Projektion P“ von der Achſe, P“B. Wird nun die Ebene E um E“ bis in die H. E. gedreht, ſo fällt die Hypotenuſe PA in die H. E und iſt ſenkrecht zu E', und da dieſelbe aus dem erwähnten rechtwinkligen Dreieck bekannt iſt, ſo ergibt ſich die Lage des Punktes(P). Das rechtwinklige Dreieck konſtruiere man in der V. E. P/A ſenkrecht zu E“’, BC= P A, dann iſt P“C die Hypotenuſe, und nun mache man A(P)= P“C. Hierdurch iſt zugleich der Neigungs⸗ winkel der Ebene E zur H. E. gefunden; er iſt nämlich gleich dem Winkel, den P“C mit BC bildet. Um die Löſung zu veranſchaulichen, benutze man ein Stück Pappe oder auch ein Dreieck als Ebene und zeichne darin P; die Kathete PP“ wird durch einen Stab dargeſtellt, die Kathete P⸗A wird auf den Tiſch, und die Hypotenuſe PA auf die Pappe gezeichnet. Es empfiehlt ſich, die Aufgabe auf zwei Arlei zu löſen, weil die Drehung der Ebene E nach zwei verſchiedenen Richtungen vorgenommen werden kann.

Von den Anwendungen dieſer Aufgabe ſind folgende zu erwähnen:

1. Zwei ſich ſchneidende Gerade OA und OB ſind durch ihre Projektionen ge⸗ geben. Es ſoll die wahre Größe des Winkels, den dieſe mit einander bilden, geſucht werden.

Auflöſung. Man konſtruiere die horizontale Spur der durch den Winkel beſtimmten Ebene, indem die Schnittpunkte S“ und U“ der Schenkel mit der H. E. geſucht werden.(Fig. 18). Dann ſchlägt man den Winkel mit dem Scheitelpunkte auf die H. E. herab, wie in der vorigen Aufgabe gezeigt worden iſt, wodurch man den in die H. E. gefallenen Scheitel erhält, und verbindet den ſo erhaltenen Punkt mit den Schnittpunkten der Schenkel mit der H. E. Der Winkel S”(0)0“, den dieſe Verbindungs⸗ linien mit einander bilden, iſt der geſuchte Winkel. Es iſt der beſſeren Überſicht wegen zu empfehlen, nur die Projektionen eines von den vier Winkeln, den zwei ſich ſchneidende Gerade bilden können, zu zeichnen.

2. Gegeben ſind die Projektionen eines Dreiecks, AßC; es ſoll die wahre Geſtalt desſelben konſtruiert werden.

Auflöſung. Man ſuche zuerſt die horizontale Spur der Ebene des gegebenen Dreiecks(mit Hilfe der Schnittpunkte zweier Seiten des Dreiecks mit der H. E.) Dann ſchlage man die drei Eck⸗ punkte des Dreiecks auf die H. E. herab und verbinde die erhaltenen Punkte mit einander.— Hierbei ergibt ſich zugleich bei jedem Eckpunkt der Neigungswinkel der Ebene des Dreiecks mit der H. E. Da dieſe drei Winkel einander gleich ſein müſſen, ſo liegt darin eine Prüfung über die Genauigkeit der ausgeführten Zeichnung. Überhaupt kann jetzt die Aufgabe gelöſt werden: Aus den Projek⸗ tionen einer gradlinigen Figur die wahre Geſtalt derſelben zu konſtruieren. Dabei iſt aber auf Folgendes zu merken: Wenn man vier Eckpunkte eines Vierecks als H. P. desſelben beliebig angenommen hat, ſo darf man nur von drei Eckpunkten desſelben die V. P. beliebig annehmen, während die V. P. des vierten Eckpunktes konſtruiert werden muß, weil dieſer vierte Punkt in der Ebene der drei erſten liegt. Dies kann dadurch geſchehen, daß, wenn A“, B“, C“ beliebig angenommene Punkte ſind, die Diagonalen A'C“, B'D’ und A“C“ gezogen werden. Hierauf beſtimmt man die V. b. des Schnittpunktes der Diagonalen, O“, die auf A“C“ liegen muß. Dann muß die V. P. des Punktes D auf der Verlängerung von B“0“ und auf der durch D“ zur Projektionsachſe gehenden Senkrechten liegen.

VII.

Die Umkehrung der im vorigen Abſchnitte erläuterten Aufgabe iſt diejenige, aus der gegebenen wahren Geſtalt einer Figur und dem Neigungswinkel ihrer Ebene gegen die H. E. die Projektionen derſelben zu konſtruieren. Als Fundamentalaufgabe dafür dient folgende Aufgabe, die die Umkehrung der im vorigen Abſchnitte beſprochenen Fundamentalaufgabe iſt:„Von einer Ebene ſind die horizontale Spur E' und der Neigungswinkel derſelben mit der H.E. gegeben. In der Ebene liegt ein Punkt P, der durch Umdrehung derſelben um die Spur E⸗