in die H. E. herabgeſchlagen iſt, ſo daß ſeine Lage(b) in der H.P. gegeben iſt. Es ſollen nun die beiden Projektionen des Punktes P konſtruiert werden.“(Fig. 19).

Die Aufgabe wird dadurch gelöſt, daß man die Ebene E durch Drehung um ihre horizontale Spur wieder in ihre Lage zurückbringt; dadurch wird auch der Punkt(P) wieder in ſeine eigentliche Lage P zurückgeſchlagen. Fällt man von(P) aus ein Lot(P)A auf E“, ſo iſt dieſes gleich der Hypotenuſe eines rechtwinkligen Dreiecks, von dem außerdem noch ein ſpitzer Winkel, nämlich der Neigungswinkel der gegebenen Ebene mit der H. E., a, gegeben iſt. Man trage daher den Winkel a an(P)A in A an, trage auf dem freien Schenkel desſelben Ad= A(P) ab und fälle ein Lot von D auf(P)A, ſo iſt der Fußpunkt desſelben,P’, die geſuchte H. P. des Punktes P. Dieſes Lot iſt auch gleich dem Abſtande des Punktes P von der H. E. Man ziehe daher von P“ aus die Senkrechte zur Projektionsachſe und trage von der Achſe aus eine Strecke gleich P“D auf derſelben in der V. E. ab. (BP“= P,D). Dann iſt P“ die geſuchte V. P. des Punktes P. Dieſe Konſtruktion iſt eine direkte Umkehrung der Aufgabe in VI; man wiederhole daher erſt letztere Aufgabe.

Die prakt iſche Ausführung dieſer Aufgabe geſchieht am beſten in der Weiſe, daß der ge⸗ gebene Neigungswinkel ² in einem beliebigen Punkt F der Achſe an dieſelbe angetragen wird.(Fig. 20). Man trägt nun das von(P) auf E“ gefällte Lot(P) A auf dem freien Schenkel von à ab,(FG=(P)A), fällt von G aus ein Lot auf die Achſe, GH, und trägt die Kathete FH auf A(D) von A aus ab, (AP’= FII, ſo iſt P“ die H. P. des Punktes P. Endlich ziehe man durch G die Parallele zur Achſe und von P’' aus die Senkrechte zur Achſe, dann iſt der Schnittpunkt P“ derſelben die V. P. des

PBunktes P.

1 Dieſe Aufgabe bildet nun, wie ſchon erwähnt, die Grundlage für alle Aufgaben folgender Art: Gegeben ſind die wahre Geſtalt einer gradlinigen Figur, die horizontale Spur der Ebene der Figur und der Neigungswinkel der Ebene der Figur mit der H. E. Es ſollen die Projektionen derſelben konſtruiert werden. Als einfachſter Fall iſt derjenige zu erwähnen, wo aus einem gegebenen Dreieck, von dem eine Seite(B)(C) in der H. E. liegt, und dem Neigungswinkel desſelben zur H. E. die Projektionen desſelben zu konſtruieren ſind. In dieſem Falle iſt die in der H. E. liegende Seite(B)(C) ein Teil der horizontalen Spur der Ebene des Dreiecks. Die Punkte(B) und(C) ſelbſt ſind zugleich die H.ͤb. B’ und C“. Die V. P. derſelben liegen in der Achſe, alſo auch die V. P. der Seite BC: B“C“. Es erübrigt alſo nur noch, die Projektionen des Punktes(A) zu ermitteln, was nach der oben erwähnten Aufgabe ge⸗ ſchieht. Es iſt ſelbſtverſtändlich, daß bei dieſer ſowie bei allen ähnlichen Aufgaben die gegebene Figur, deren eigentliche Lage im Raume zwiſchen den Projektionsebenen ſich befindet, als durch Drehung um ihre horizontale Spur in die H. E. herabgeſchlagen angenommen wird. Als weitere Fälle vom Dreieck können erwähnt werden derjenige, bei der eine Ecke des Dreiecks in der H. E. liegt, und der, wobei die drei Ecken im Raume zwiſchen den Projektionsebenen liegen. In letzterem Falle müſſen die Projektionen für jeden Eckpunkt des Dreiecks ermittelt werden.(Fig. 21).

Zur weiteren Löſung iſt folgende Aufgabe zu empfehlen: Die Projektionen eines Rechtecks aus ſeiner gegebenen wahren Größe, der horizontalen Spur ſeiner Ebene und dem Neigungswinkel desſelben zur II.E. zu konſtruieren. Iſt das Recht⸗ eck nicht ſenkrecht zur V. E., alſo E“ ſchief zur Projektionsachſe, ſo ſind beide Projektionen ſchiefwink⸗ lige Parallelogramme.— Die Projektionen einer Figur ſind je nach der Lage derſelben in Bezug auf die Projektionsebenen ſehr verſchieden. Daher iſt folgende Aufgabe von beſonderem Intereſſe: Die Projektionen eines Quadrats in verſchiedenen Lagen in Bezug auf die Projektionsebenen zuzeichnen. Der einfachſte Fall iſt 1) derjenige, wenn das Quadrat ſenkrecht zu beiden Projektionsebenen ſteht, und zwei Seiten AB und CD parallel zur H. E. ſind. Dann ſind die Projektionen gerade Linien, die gleich der Seite des Quadrats ſind und auf derſelben Senkrechten zur Achſe liegen.(Figur 22). Das Quadrat kann 2) parallel zur V.E., alſo ſenkrecht zur H. E. ſein; dabei können die Gegenſeiten AD und BC parallel zur H. E. ſein. Dann iſt die H. P. eine Strecke, die gleich der Quadratſeite und parallel zur Achſe iſt. Die V.P. iſt ein Quadrat, das dem gegebenen Quadrat kongruent iſt. Das eine Paar