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Wenn die Gerade ſo liegt, daß die projicierenden Ebenen in eine Ebene zuſammenfallen, ſo iſt zur Konſtruktion der Neigungswinkel die Kreuzrißebene nötig.
V.
Um die Lage einer Ebene zu beſtimmen, gibt man die Geraden an, in denen dieſelbe bei hinreichender Erweiterung die Projektionsebenen ſchneidet. Dieſe Durchſchnittslinien werden die Spuren der Ebene genannt; diejenige mit der H. E. heißt horizontale Spur(E), diejenige mit der V. E. vertikale Spur(E“). Um die Spuren zu veranſchaulichen, ſchneide man ebene Flächen aus Pappe und lege ſie zwiſchen die Projektionsebenen. Der Winkel, den beide Spuren(in der wahren Lage der Projektionsebenen) mit einander bilden, kann ſpitz, ſtumpf oder recht ſein. Wenn der Winkel ein ſchiefer iſt, ſo ſteht die Ebene ſchief zu den Projektionsebenen, wenn der Winkel der⸗ ſelben ein rechter iſt, ſo kann die Ebene ſenkrecht zu einer der Projektionsebenen und ſchief zu der andern, oder ſenkrecht zu beiden Projektionsebenen ſein. Hierauf bringe man die Projektionsebenen in eine einzige Ebene und zeige, welche Lage zur Projektionsachſe die Spuren in den einzelnen Fällen haben. Dabei iſt hervorzuheben, daß der Schnittpunkt der Spuren in der Achſe liegt Auch gebe man an, woran zu erkennen iſt, ob die Spuren(nachdem die Projektionsebenen in ihre wahre Lage gebracht worden ſind), einen ſpitzen oder ſtumpfen Winkel bilden. Endlich betrachte man noch die beſonderen Fälle. Wenn die Ebene parallel zu einer der P. E iſt, ſo iſt nur eine Spur, die parallel zur Achſe iſt, vorhanden; wenn die Ebene ſchief zu beiden Projektionsebenen und parallel zur Achſe iſt, ſo laufen die Spuren parallel zur Achſe. In Figur 12 hat die gegebene Ebene folgende Lagen: 1a und 1b ſchief zu beiden Projektionsebenen(bei a bilden die Spuren in ihrer wahren Lage einen ſpitzen, bei b einen ſtumpfen Winkel); 2. ſenkrecht zur H. E., ſchief zur V.E.; 3. ſchief zur H. E., ſenkrecht zur V. E.; 4. ſenkrecht zu beiden Projektionsebenen; 5. parallel zur HE.; 6. parallel zur V. E.; 7. ſchief zu beiden Projektionsebenen und parallel zur Achſe Nachdem die Darſtellung einer Ebene durch ihre Spuren zum Verſtändnis gebracht worden iſt, ſo kann zunächſt folgende Aufgabe gelöſt werden:
1. Die Spuren derjenigen Ebene zu konſtruieren, die beſtimmt iſt: a) durch zwei ſich ſchneidende Gerade; b) durch eine Gerade und einen Punkt außerhalb derſelben; c) durch zwei parallele Gerade; ch durch drei nicht in gerader Linie liegenden Punkte oder die Seiten eines Dreiecks.
Der Fall a) kann ſehr leicht dadurch veranſchaulicht werden, daß man zwei ſich ſchneidende Stäbe auf die Tiſchebene ſtellt. Dann zeigt es ſich, daß die Spur der betreffenden Ebene durch die Schnitt⸗ punkte derſelben mit der Tiſchebene geht. Man hat daher beide Geraden zu verlängern und die Schnittpunkte derſelben mit den Projektionsebenen zu beſtimmen. Die Spuren, die ſich ergeben, ſind dann entweder beide parallel zu der Projektionsachſe oder ſie ſchneiden ſich in einem Punkte auf der Achſe. Zur Ausführung empfiehlt ſich außer dem Falle a auch der Fall d. Hierbei genügt die Konſtruktion der Schnittpunkte zweier Seiten des Dreiecks mit den Projektionsebenen. Um die Ge⸗ nauigkeit der Zeichnung zu prüfen, laſſe man aber auch den Schnittpunkt der dritten Seite mit den Projektionsebenen beſtimmen, der mit den beiden erſten auf einer Geraden liegen muß.(Fig 13). Hierbei kann es natürlich auch vorkommen, daß ein Schnittpunkt auf die erweiterte H. E. reſp. V. E. fällt.
Von anderen Aufgaben, die in dieſem Teile der darſtellenden Geometrie zur Löſung kommen, ſind noch folgende zu erwähnen:
2. Die Projektionen der Durchſchnittslinie zweier Ebenen, die durch ihre Spuren gegeben ſind, zu beſtimmen.
Dieſe Aufgabe und ihre Löſung läßt ſich leicht veranſchaulichen, indem in den Raum zwiſchen den in ihre wahre Lage gebrachten Projektionsebenen zwei ſich ſchneidende Ebenen(aus Pappe) hinein⸗ gelegt werden. Dann ergibt ſich, daß ein Punkt der geſuchten Durchſchnittslinie, A, der Schnitt⸗ punkt der horizontalen Spuren, deſſen V. P. alſo in der Achſe liegt, und ein anderer Punkt der Durchſchnittslinie der Schnittpunkt der vertikalen Spuren, B, iſt. Die Projektionen der Durchſchnitts⸗