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ſenkrecht ſtehen; die Länge derſelben wird entnommen aus den Abſtänden der Punkte A“ und B“ von der Achſe. Dieſes Trapez, deſſen Ebene ſenkrecht zur H. E. ſteht, wird um AB’ gedreht, bis es in die H. E. fällt; daher wird es in die H. E. gezeichnet. Die wahre Länge iſt gleich der Strecke(A)(B). (Fig. 11). Als Probe der gefundenen wahren Länge zeichne man auch das Trapez A“B“BA. Man betrachte nun auch diejenigen Lagen der Geraden, bei der die wahre Länge ſo groß wie eine der Projektionen iſt, und zeige, daß, wenn man die allgemeine Löſung anwendet, die gefundene wahre Länge mit der bereits bekannten übereinſtimmt.—

Eine andere Löſung dieſer Aufgabe kann hier gleich angeſchloſſen werden. Man drehe die Gerade um einen ihrer Endpunkte, z. B. A, bis ſie zur V. E. parallel iſt, und zwar ſo, daß der andere Endpunkt B den Abſtand von der H. E. beibehält. Dann beſchreibt dieſer Endpunkt B einen Kreisbogen, deſſen Ebene parallel zur H. E. und daher ſenkrecht zur V. E. iſt. Die H.P. dieſes Kreisbogens iſt ein Kreisbogen mit dem Radius AB“ und die V. P. desſelben iſt eine Gerade, die parallel zur Achſe iſt.(Figur 9). Wenn die Gerade im Raume ſoweit gedreht iſt, bis ſie zur V. E. parallel geworden iſt, ſo iſt die H. P. der Geraden in ihrer neuen Lage, A'C“, parallel zur Achſe; und dann iſt die V. P. derſelben, nämlich A“C“ gleich der wahren Länge der Geraden.

2. Die Durchſchnittspunkte der Verlängerung einer geraden Linie mit den Projektionsebenen zu beſtimmen.— Die V.b. des Durchſchnittspunktes der Geraden mit der H.E. liegt auf der Verlängerung von A“/B“ in der Achſe; die H.P. dieſes Punktes liegt auf der Verlängerung von AB’.(Fig. 11). Man verlängere daher die V. P. bis zum Schnittpunkte mit der Achſe, errichte in dieſem Punkte ein Lot in der f. E. zur Achſe, das die Verlängerung von A„B“ in S“ ſchneidet. Dieſes iſt der Schnittpunkt der Geraden mit der H. E. In gleicher Weiſe wird der Schnittpunkt mit der V. E. gefunden.—

Bei der Löſung dieſer Aufgabe iſt Rückſicht zu nehmen auf die Lage der Geraden zu den Projektionsebenen. Wenn die Gerade ſchief zu beiden Projektionsebenen iſt, ſo können die beiden Schnittpunkte ſichtbar ſein, oder nur einer von ihnen oder der Schnittpunkt kann in die Achſe fallen. Wenn z. B. nur der Schnittpunkt mit der V. E. ſichtbar iſt, ſo fällt der Schnittpunkt mit der H. E. hinter die V. E.(Fig. 10).— Auch wende man die Löſung dieſer Aufgabe auf beſondere Fälle an, in denen z. B. nur ein Schnittpunkt exiſtiert(wenn die Gerade parallel zu einer der Projektionsebenen iſt). Wenn die Gerade ſo liegt, daß die projieierenden Ebenen in eine einzige Ebene zuſammenfallen, ſo iſt zur Beſtimmung der Schnittpunkte die Kreuzrißebene nötig. Wenn hierbei nur ein Schnittpunkt ſichtbar iſt, ſo kann der Fall eintreten, daß es derjenige mit der luf ai derjenige mit der V. E. iſt; oder es kann auch vorkommen, daß dieſer Schnittpunkt in die Achſe fällt.

3. Die Neigungswinkel einer Geraden gegen die Projektionsebenen zu beſtimmen.

Man verlängere die Gerade bis zum Schnittpunkte mit der H. E., dann iſt der Winkel, den die Gerade mit ihrer Projektion bildet, der geſuchte Neigungswinkel gegen die H. E. Die bis zur H. E. verlängerte Gerade iſt die Hypotenuſe eines rechtwinkligen Dreiecks, in dem die Projektion der verlängerten Geraden die eine Kathete iſt. Man erhält dieſes Dreieck, wenn man die wahre Länge der ver⸗ längerten Geraden konſtruiert. Dieſes Dreieck wird alſo in die H.E. umgelegt. Dann iſt x der Neigungswinkel der Geraden zur H. E.(Fig. 11). Man kann auch die wahre Länge der Geraden, ehe ſie bis zur H. E. verlängert iſt, beſtimmen; dann muß die erhaltene Strecke bei ihrer Verlänge⸗ rung durch den Schnittpunkt der Geraden mit der H. E. gehen. In gleicher Weiſe wird der Neigungs⸗ winkel y der Geraden mit der V. E. beſtimmt. Die Aufgabe kann auch gelöſt werden, indem man die wahre Länge der Geraden beſtimmt und dann durch den Endpunkt dieſer gefundenen Strecke, der der Projektion am nächſten liegt, die Parallele zur Projektion zieht.— Auch hier iſt zu empfehlen, die Aufgabe für beſondere Fälle zu löſen, wenn z. B. die Gerade parallel zu einer der P. E. iſt.