— 4—

Es iſt nun noch feſtzuſtellen, wo die Projektionen eines Punktes liegen, der in einer der Projektionsebenen liegt. Hierbei ſind wieder vier Fälle zu unterſcheiden. Der Punkt liegt 1) in der H. E., vor der V. E. Dann liegt ſeine V. P. in der Achſe und die H. b. unter Achſe. 2) Er liegt in der H.E., hinter der V. E.; dann fällt ſeine V. P. in die Achſe und die H. P. über die Achſe. 3) Er liegt in der V. E., über der H. E. Dann fällt ſeine H. P. in die Achſe und die V.P. über die Achſe. 4) Er liegt in der V. E., unter der H. E. Dann fällt ſeine H. P. in die Achſe und die V. P. unter die Achſe.— Liegt ein Punkt in der Achſe, ſo fallen ſeine beiden Projek⸗ tionen mit ihm ſelbſt zuſammen.(Figur 5).

Anmerkung. Die Lage der Projektionen ſolcher Punkte zu beſtimmen, iſt notwendig, weil die Schnitt— punkte von geraden Linien mit den Projektionsebenen eine von dieſen Lagen haben können

III.

Nachdem die Erklärung über die Projektionen einer Geraden auf eine Ebene wiederholt worden iſt, iſt noch Folgendes hinzuzufügen. Die projicierenden Geraden AA“ und BB; einer Strecke AB, die parallel ſind, beſtimmen eine Ebene, die man projieierende Ebene nennt. In dieſer, die auf der H. E. ſenkrecht iſt, liegen auch die Gerade Aß ſelbſt und die Projektion AB“. Dieſe bilden mit den Geraden AA’ und BB' ein Trapez, wenn die Gerade Aß zur H. E. ſchief iſt, und ein Rechteck, wenn die Gerade AB parallel zur H.E. iſt. Die Gerade AB liegt auch in der anderen zur V.E. ſenkrechten projicierenden Ebene ABB“A“. Eine Gerade kann nun in Bezug auf die Projektionsebenen folgende Lagen haben: 1) ſchief zu beiden P. E.; 2) parallel zur H. E., ſchief zur V. E.; 3) ſchief zur H. E., parallel zur V. E.; 4) parallel zu beiden P. E.; 5) ſenkrecht zur H. E.; 6) ſenkrecht zur V. E. Es ſind die Projektionen einer Geraden in dieſen verſchiedenen Lagen zu zeichnen.(Fig. 6). Welche Lage dieſelben in Bezug auf die Achſe haben, läßt ſich am einfachſten auf dem Fußboden und an der vor den Schülern befindlichen Wand veranſchaulichen. Wenn die Gerade ſchief zu beiden Projektionsebenen iſt, ſo kann man die Schüler auch auf die Fälle aufmerkſam machen, welche Lage die Projektionen in Bezug auf die Achſe haben, wenn die beiden Schnittpunkte der verlängerten Geraden mit den Projektionsebenen ſichtbar ſind, und wenn nur einer von dieſen Punkten ſichtbar iſt, oder wenn die verlängerte Gerade die Achſe ſchneidet.

Eine beſondere Betrachtung iſt notwendig für den Fall, wenn die zu beiden Projektionsebenen ſchief ſtehende Gerade ſo liegt, daß die projieierenden Ebenen in eine Ebene zuſammen⸗ fallen. Die Projektionen der Geraden ſind dann zwei zur Achſe ſenkrecht ſtehende Gerade. Die Gerade kann nun ſo liegen, daß bei ihrer Verlängerung beide Schnittpunkte mit den Projektions⸗ ebenen ſichtbar ſind, oder daß nur ein Schnittpunkt ſichtbar iſt(in welch letzterem Falle der Schnittpunkt auch in die Achſe fallen kann). Die Projektionen haben aber in beiden Fällen die gleiche Lage, ſo daß die Lage der Geraden im Raume aus ihren Projektionen nicht genau erkannt werden kann. Es kann dies allerdings geſchehen, wenn die Endpunkte der Geraden beézeichnet ſind, aber nicht, wenn dieſe Bezeichnung fehlt.(Fig. 7). In dieſem Falle wendet man noch eine dritte Projektionsebene an, die zu beiden Projektionsebenen ſenkrecht ſteht und die man auch die Kreuzrißebene nennt. Man projiciert die Gerade auch auf dieſe Ebene und kann dann aus dieſer dritten Projektion genau die Lage derſelben erkennen. Beim Zeichnen legt man am beſten die dritte Projektionsebene horizontal, ſo daß der Teil der Zeichenebene zwiſchen der V. E. und der Kreuzrißebene leer zu denken iſt.(Fig. 8).

IV.

Von den Aufgaben über die Gerade ſind nun folgende zu löſen: 1. Die wahre Länge einer Geraden aus ihren Projektionen zu beſtimmen.— Man benutze hierzu das Trapez AB BaA, deſſen parallele Seiten AA“ und BB’ zu AB“