— 3—

9. Wenn zwei Ebenen ſich ſchneiden, ſo bilden ſie einen Flächenwinkel. Die beiden Ebenen heißen die Schenkelebenen, ihre Durchſchnittslinie heißt Scheitellinie oder Achſe des Flächenwinkels. Um den Neigungswinkel eines Flächenwinkels zu erhalten, errichtet man in einem beliebigen Punkte der Achſe eine Senkrechte zu derſelben in jeder der beiden Ebenen und legt durch dieſe Senkrechten eine Ebene. Der von dieſen Senkrechten gebildete Winkel iſt der Neigungswinkel der beiden Ebenen. Iſt dieſer ein rechter, ſo ſtehen die Ebenen ſenkrecht zu einander; iſt derſelbe ein ſpitzer oder ſtumpfer, ſo ſtehen die Ebenen ſchief zu einander.

II.

Um einen Punkt darzuſtellen, nimmt man ſeine Lage in dem durch zwei zu einander ſenk⸗ recht ſtehende Ebenen begrenzten Raume an. Dieſe Ebenen werden die Projektionsebenen ge⸗ nannt. Die eine derſelben hat eine horizontale Lage und heißt Horizontalebene(H. E.) oder erſte Projektionsebene. Die zweite Ebene hat demnach eine vertikale Lage und heißt Vertikalebene (V. E.) oder zweite Projektionsebene. Die Durchſchnittslinie der beiden Ebenen heißt Projektions⸗ achſe oder Achſe(P. A.). Liegt nun ein Punkt P im Raum zwiſchen dieſen Ebenen, ſo projiciert man denſelben auf jede der beiden Ebenen und nennt die Projektion auf die H. E. Horizontalprojektion (H. P.) oder erſte Projektion(P⸗) und die Projektion auf die V.E. Vertikalprojektion oder zweite Projektion(P“). Durch die projicierenden Geraden PP’ und PP“ legt man eine Ebene, die die beiden Projektionsebenen in zwei Geraden PeA und P“A ſchneidet. Dieſe Geraden P“A und P A, die ſich in dem Punkte A auf der Achſe ſchneiden, bilden mit PP“ und PP“ ein Rechteck, und es iſt P“A= PP und PA= PP“. Die Geraden P“A und PA, die auf der Achſe ſenkrecht ſtehen, bilden einen rechten Winkel, den Neigungswinkel der Projektionsebenen. Man veranſchauliche alles dies an einem Modell, das aus zwei um eine Achſe drehbaren Brettern beſteht. Auch kann hierzu der Fußboden des Zimmers als H. E. und die vor den Schülern befindliche Wand als V.E. dienen. Um nun alles, was in den Projektionsebenen liegt, in einer einzigen Ebene zeichnen zu können, dreht man die V. E. um die Achſe, bis ſie eine horizontale Lage erhält. Dann bilden P“A und PA eine Gerade, die ſenkrecht zur Achſe iſt. Daraus ergiebt ſich der Satz: Die Projektionen eines Punktes liegen auf einer Geraden, die ſenkrecht zur Projektionsachſe iſt. Die I. P. liegt unter der Achſe, die V. P. über derſelben.(Figur 3). Wenn nun die Projektionen eines Punktes P gegeben ſind, ſo wird die Lage desſelben im Raume auf folgende Weiſe gefunden: Man bringe die V. E. in ihre wahre Lage, errichte in P“ ein Lot zur H. E. und mache es= AP“, dann iſt der Endpunkt dieſes Lotes der Punkt P. Oder man errichtet in P“ ein Lot zur V. E. und macht es= AP“*). Der Abſtand der V.b. eines Punktes von der Achſe iſt gleich dem Abſtande des Punktes ſelbſt von der H.E., und der Abſtand der H. b. eines Punktes von der Achſe iſt gleich dem Abſtande des Punktes von der V.E.

Wenn man beide Projektionsebenen über die Achſe hinaus erweitert, ſo zerfällt der ganze Raum in vier Teile. Wir wollen den Teil, der für den Beobachter ſichtbar iſt, mit I bezeichnen. Ein Punkt, der in dieſem Teile, alſo über der H. E. und vor der V. E. liegt, hat die Lage, die wir in den vorſtehenden Ausführungen angenommen haben. Liegt ein Punkt über der H. E., hinter der V. E.(im II. Teile) und beſtimmt man ſeine Projektionen, ſo ergibt ſich, daß beide Projektionen über die Achſe fallen. Liegt ein Punkt unter der H.E. und hinter der V. E.(im III. Raum), ſo liegt ſeine H. P. über der Achſe und ſeine V. P. unter der Achſe. Liegt ein Punkt im IV. Raume(unter der IH. E. und vor der V. E.), ſo fallen ſeine beiden Projektionen unter die Achſe. Dieſe Fälle ſind an den in ihre wahre Lage gebrachten Projektionsebenen zu veranſchaulichen; die Lage der Projektionen des Punktes läßt ſich dann leicht beſtimmen, wenn die Projektionsebenen in die Lage einer Ebene gebracht werden.(Figur 4.)

*) Um dies zu demonſtrieren, kann man auch eine vertikal aufgehängte Wandtafel benutzen, deren unterer Teil ſo gedreht und feſtgeſtellt werden kann, daß er eine horizontale Lage hat. An der Wandtafel haben alſo beide Projektionsebenen zum Zeichnen vertikale Lage, während bei den Zeichnungen auf dem Tiſche für die Schüler beide Ebenen horizontal liegen.