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Linie liegenden Punkte iſt die Lage einer Ebene beſtimmt Daraus folgt: Eine Ebene iſt beſtimmt: a) durch eine Gerade und einer außerhalb derſelben liegenden Punkt; b) durch zwei ſich ſchneidende Gerade oder die Schenkel eines Winkels; c) durch drei ſich gegenſeitig ſchneidende Gerade oder durch die Seiten eines Dreiecks. Zugleich erinnere man an den aus der Planimetrie bekannten Satz, daß auch durch zwei parallele Gerade ſich ſtets eine Ebene legen läßt.

3. Zwei gerade Linien können im Raume folgende Lagen gegeneinander haben:

a) Sie haben keinen Punkt gemeinſam und liegen zugleich in einer Ebene, d. h. ſie ſind parallel.

b) Sie haben keinen Punkt gemeinſam und liegen nicht in einer Ebene. Dann heißen ſie einander kreuzende oder windſchiefe Linien.

c) Sie haben einen Punkt gemeinſam oder ſie ſchneiden einander.

d) Sie haben zwei und ſomit alle Punkte gemeinſam, d. h. ſie decken ſich.

4. Eine Ebene und eine Gerade können folgende Lage zu einander haben:

a) Die Gerade hat mit der Ebene(bei beliebiger Verlängerung, bezw. Erweiterung) keinen Punkt gemeinſam, oder ſie iſt ihr parallel.

b) Die Gerade hat mit der Ebene einen Punkt gemeinſam oder ſie ſchneidet dieſelbe.

c) Die Gerade hat mit der Ebene zwei Punkte gemeinſam oder ſie fällt ganz in die Ebene.

5. Zwei Ebenen können zu einander folgende Lagen haben:

a) Sie hben bei beliebiger Erweiterung keinen Punkt gemeinſam, d. h. ſie ſind parallel.

b) Sie haben einen Punkt gemeinſam; in dieſem Falle ſchneiden ſie ſich in einer ge⸗ raden Linie.

c) Sie haben drei nicht in einer geraden Linie liegenden Punkte gemeinſam, oder ſie decken einander.

6. a) Unter der Projektion eines Punktes auf eine Gerade verſteht man den Fußpunkt

derjenigen Senkrechten, die von dem Punkte auf die Gerade gefällt iſt; z. B. A“ iſt die Projektion des Punktes A auf die Gerade L.(Figur 1). Die Senkrechte AA“ wird proji⸗ cierende Gerade genannt. b) Unter der Projektion einer Strecke auf eine Gerade verſteht man denjenigen Abſchnitt der letzteren, der zwiſchen den Projektionen der Endpunkte der Strecke liegt; z. B. AB' iſt die Projektion von AB auf L.(Figur 2).— Wenn die Strecke mit der Geraden parallel iſt, ſo iſt die Projektion gleich der Strecke; im anderen Falle iſt die Projektion ſtets kleiner als die Strecke und zwar um ſo kleiner, je größer der Winkel iſt, den die(verlängerte) Strecke mit der Geraden bildet. Steht die Strecke auf der Ge⸗ raden ſenkrecht, ſo iſt ihre Projektion ein Punkt.

7. Wenn eine Gerade eine Ebene ſchneidet, ſo ſteht ſie entweder ſenkrecht oder ſchief auf derſelben. Eine Gerade ſteht ſenkrecht zu einer Ebene, wenn ſie auf allen durch ihren Durchſchnittspunkt mit der Ebene in dieſer gezogenen Geraden ſenkrecht ſteht. Dies iſt dann der Fall, wenn ſie zu zwei ſolchen Geraden ſenkrecht ſteht. Iſt letzteres nicht der Fall, ſo ſteht die Gerade ſchief auf der Ebene.

8. Unter der Projektion eines Punktes auf eine Ebene verſteht man den Fußpunkt derjenigen Senkrechten, die von dem Punkte auf die Ebene gefällt iſt. Unter der Projektion einer Geraden auf eine Ebene verſteht man die Verbindungslinie zwiſchen den Pro⸗ jektionen der Endpunkte der Geraden auf die Ebene. Wenn eine Gerade eine Ebene ſchneidet und ſchief zu derſelben ſteht, ſo nennt man den(ſpitzen) Winkel, den ſie mit ihrer Projektion auf die Ebene bildet, den Neigungswinkel der Geraden gegen die Ebene. Der Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene iſt der kleinſte von allen Winkeln, die jene mit ſolchen Geraden bildet, die in der Ebene durch ihren Fußpunkt gezogen werden können.