l. Auflösung eines Dreieckes von gegebenem Winkel'r in ganzen Zahlen.

Wäre ABC das gesuchte Dreieck, so hätte man nach üblicher

Bezeichnung cz— az+ bz— 2 ab cos † 1.)

Soll c zugleich mit a und b rational werden, so muss cos gleichfalls rational sein.

Die Gleichung 1.) lässt sich in die Productgleichung

(c+ a)(c— a)= b(b— 2 a cos+)

und diese wieder zur Proportion umgestalten

6— a b— 2 a cos †

b(Ma

Andern sich die Werte der drei Seiten des Dreieckes, so ändert sich auch der Wert dieser beiden gleichen Quotienten, den wir mit bezeichnen wollen, so dass wir haben

G— a b— 2 a cos † m h— 2.) G+ a n.

Aus der Doppelgleichung unter 2.) ergeben sich nun die beiden

einfachen Gleichungen

6— a m.

— 3.) und b— 2 a cos 8 m 4)

in welchen die zwischen c, b, a und a bestehende Beziehung auch so aufgefasst werden kann, dass c, b, a von an abhängt.

Denkt man sich daher m undn und nebst diesen zwei Stücken noch c gegeben, so lassen sich die Seiten b und a aus den angenom- menen Stücken bestimmen.

Wird aus den Gleichungen 3.) und 4.) einmal b und einmal a- eliminiert, so erhält man

b 2n(m%n cos*) n2— m² n²+. m²+ 2mn cos.* und a u2 † m² 2mn cos † Setzt man cos †, welches eine rationale Größe sein muss,= 4

so gehen die Ausdrücke für b und a über in - 2n(mr †. ng)(u2— ma) r —(n2 4. m ²) r 12 mua. c und a=(u2 † m2) 7 † Iran 91 C