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Hieraus ergeben sich folgende drei gleichen Verhältnisse C b a (nz+ m)r+ õamnq aun(mr nq)(n— m²)r. 5.) in welchen die Dividende c, b, a den zugehörigen Divisoren propor- tional sind. Die einfachste Lösung ergibt sich aber, wenn man den Propor- tionalitätsfactor= 1 setzt, so dass man erhält c=(n²+ m²) r+ 2 mn ꝗ b= 2n(:mr+un q) a=(nꝛ²— m²) r 6.) In diesen Gleichungen erscheinen c, b, a als ganze Zahlen, ausgedrückt durch die neu eingeführten Veränderlichen n und m, für welche man was immer für Zahlen setzen kann.

II. Auflösung des rechtwinkeligen Dreieckes in ganzen rationalen Zahlen.

Wir nehmen an, es wären durch die Gleichungen 6.) mittelst mu me m,

der Substitutionen., n.,„. etc. einige Dreiecke bestimmt worden, so können dieselben mittelst eines Proportionalitätsfactors alle auf eine und dieselbe Basis c gebracht werden.

Durch c und † ist aber dann jener Kreis bestimmt, in den sich alle in Rede stehenden Dreiecke einfassen lassen.

Um den Durchmesser d dieses Kreises zu bestimmen hat man

c— d sin; 7) aus welcher Gleichung ersichtlich wird, dass auch sin † rational wer- den muss, wenn anders d rational gedacht werden soll.

Es ergibt sich hieraus die Nothwendigkeit, jene Winkel † kennen zu lernen, deren cos+ und sin † rationale Zahlen sind.

Die Lösung dieser Aufgabe wird durch die Gleichung 7.) an- gedeutet; denn nach derselben gehört † einem rechtwinkeligen Drei- ecke an, in welchem d die Hypotenuse und c eine Kathete ist.

Bezeichnen wir die andere Kathete mit b, so ist

b= d cos †. nach der Voraussetzung über d und cos* gleichfalls eine rationale Zahl.

Lässt sich also ein rechtwinkeliges Dreieck auffinden, in welchem alle drei Seiten rational sind, so sind auch sin und cos rational.

Diese Aufgabe findet ihre Lösung in den Gleichungen 6.); setzt man nämlich= R, so sind AC— b und BC= a die beiden ratio- nalen Katheten und AB— c die rationale Hypotenuse, so dass b

a. sin x= G und cos— 7

rationale Zahlen werden,