22

Für die kleinere Wurzel von 3 X— 16+ 17= 0 erhalten wir durch eine ähnliche Rechnung X=+ 19 und y=+ 22 als Auflösungen der Gleichung 3 X— 2 Xy 4 y*=(— 1)5.17=— 17. Die gleiche Behandlung der Gleichung 4 2— 18+ 17= 0 liefert hier dieselben Resultate.

— D 4 Ist unter den aus— à2— 2VvX d= 0 abgeleiteten Gleichungen nicht die Gleichung

a XZ2 2 bz— c= 0 enthalten, sondern die Gleichung cx²— 2 bx— a= 0, So löse man zunäãchst

die Gleichung cx²— 2 bXy— a y2²= d auf. Sind x= p und y= † a Auflösungen derselben,

so sind x=+ d und y=+ d Auflösungen der Gleichung a x²— 2 bxy— cy²= d. Beispiel. Es sei 3 X²2— 10 Xxy— 4 ²2=+ 11 aufzulösen.

Hier ist D= 37. Setzt man v= 9, so wird 1713= 4. Also entwickele man eine positive Wurzel der Gleichung 4 X²— 18 x+ 11= 0 in einen Kettenbruch. Man erhält 4 X2— 18 x+ 11= 0, au= 3

7 X2 6X 4= 0, 9.= 1 3 12 31 7ä=— 0, a.= 3 4 X— 10 X— 3= 0, a.= 2 7 X— 61— 4= 0. Also kommt die Gleichung 3 x— 10 x— 4= 0 nicht vor, wohl aber die Gleichung 4 X 10 x O 3= 0. Hiier ist m= 4, Bm- 2= 4, Bm- 1= 15. Demnach sind X= 4.4 und y= 15 Auflõsungen der Gleichung 4 X*— 10 xy— 3 y²=(— 1)3. 11=— 11. Folglich sind x=+ 15 und y= 4 4 Auflösungen der Gleichung 3 X— 10 xy— 4 ²*= 11. 20. Entwickelung aller Auflösungen der diophantischen quadratischen Gleichung ax.— 2 bxy— cyz= d(in welcher(a— c) und(c— a)= 2b sein solh) aus der ersten. Es sei x= v und y= w eine Auflösung dieser Gleichung. Ferner liefere die positive Wurzel der Gleichung a x— 2 bx— c= 0 eine kgliederige Periode. Dann sind alle Auflösungen der Gleichung a x²— 2 bxy— cy== d enthalten in den Formeln 25. X= Bak Vv- Bak-1 W und 26. v== AskV Ask 1 w. Denn substituirt man diese Werte in die gegebene Gleichung, so wird die linke Seite =(a B=x— 2 b Bax Ask— CAzx) V2 + 2(a Bax Bsk- 1— b[Bskx Ask- 1+ Ask Bak- 1]— CAsx Ask- 1) VW P(a Bek 2 b Bsk= Ask= 1— CAsk- 1) W. Dieser Ausdruck verwandelt sich durch Anwendung der Formeln in§ 16 in folgenden (— 1)sXGa v½— 2 bvw— cw), welcher nach der Voraussetzung=+(— 1)«Xd, also= † d ist. 21. Die Werte von Xx und y, welche die diophantische Gleichung a X2— 2 bxy— cy²= d lösen, bilden rekurrente Reihen. Nach vorigem§ hat man N= PBeX Pr y und y= Ar X* Ak- 1 F. I= BNXP Bk 1 y und y“= Ax X= Axk 1 y. Daraus folgt I“= BXX+ Br- 1(ArX+ Ax- 1); Xw= BXX“+ B 1 ArX+ Ax- 1 G— BV; X“—(BXx+. Ax- 1) X+(Br- 1 Ax— Ax- 1 Br) X oder 27. I=(Bx+ Ar 1) X † X.