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Ebenso hat man y“= Ax(BrX+ Bx- 1 y)+ Axr— 1' )= Br(V. Ar- 1) †-Ax Bx-1y A 1 F; Y=(Br+ Ax- ¹)+(Ax Bx- 1— Bx Ax- 1) y oder 28. yn=(Br+ AxX- 1) F* y.

Also bilden die Werte von X und y rekurrente Reihen mit der Beziehungsskala (Br Ar-) 4l.

22. Auch die Werte von x undy, welche die diophantische Gleichung a X2— 2 bxy— cy²= d, deren Koëffizienten beliebig sind, auflösen, bilden rekurrente Reihen.

Man entwickele die positive Wurzel der Gleichung a x2— 2 bz— c= 0 in einen Kettenbruch. Die Periode habe kGlieder und beginne mit der(n+. 1) ten Gleichung, welche Ni XZ2 2 MX— No= 0 heiſsen mag. Der mte und(n— 1) te Näherungswert der Wurzel seien Bn B

ſ und. — No y²=+ d. Alsdann ist I. I= Bn V Barw und II. y= Anv †. An- 1 w eine Auflösuug der Gleichung a xe— 2 bxy— cy²= d. Denn man erhält durch Substitution dieser Werte(àA Bn²— 2 b Bn An— C An²) V2 + 2(a Ba Bn— 1— b[An Bn— 1+ Bn An 1]— C An An- 1) vW +(a B2 1— 2 b An 1 Bn 1— CAz. 1) w.

Dieser Ausdruck verwandelt sich nach§ 17 in(— 1)(NVvZ2— 2 M VW—O- N wa), welches nach Voraussetzung= d ist. Es seien nun x, y, ferner X“, y’ und X“, y“ drei auf einander folgende Auflösungen der Gleichung N x²— 2 M Xy— No y²= d; sodann x, y, ferner x“, y- und x“, y“ drei auf einander folgende Auflösungen der Gleichung a x*— 2 by— cy²= d, so ist nach den Formeln I und II.

P“= Bn X.+ Ba=1 S und y“ Ar* Uln ei W, T.= Bn B und y. An X“ An 1 v. Substituirt man in die Ausdrücke für r“ und y“ die Werte von x“ und y“ aus dem vorigen§, so erhält man T“= Bu(Bx+ Ar- I X“*† B.- 1(B x+ AX- I. J.; 1=(Br+ Ax- ¹)(BaX+ Bn= 1).(B X+ B2- 1) III. r=(Br Ax- 1) T K4. v; »= Ar(Br Ar- IvD Ae-(BI Ar- Iæ y). v(Br+ AX- ¹)(A⸗ X“*+ An- y).*(An X+ An- 1 y)— IV. v=(Be †. Ar. 1) y⸗ y.

Also auch die Werte von x und y, welche die diophantische Gleichung à x*— 2 bXy — cy²= d, deren Kodffizienten beliebig sind, auflösen, bilden rekurrente Reihen mit der Beziehungs- skala(Bx+ Ax— 1),£ 1. Unter Bx und Pr

Ar AL= bruch der in einen Kettenbruch entwickelten positiven Wurzel der Gleichung N x*— 2 M X N,= 0.

23. Die Auflösung einer solchen Gleichung gestaltet sich nun so. Man ent- wickelt die positive Wurzel von ax— 2 bx— c= 0 in einen Kettenbruch. Derselbe habe nvorperiodische und kperiodische Glieder. Die(n+ 1) te Gleichung gehört dann zur Periode.

Es sei ferner x= v und y= w eine Auflösung der Gleichung N X2— 2 M Xy

verstehen wir den Kten und(K— 1) ten Näherungs-