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19. Auflösung der diophantischen quadratischen Gleichung ax— 2 bXy — cy²= d, wenn die Differenz des ersten und dritten Koéëffizienten der linken Seite kleiner als der zweite und d beliebig ist.
Wird die Gleichung Nux²— 2 M Xy— No y²= P, in welcher die Koéffizienten links beliebig sein können, durch X= v und y= w befriedigt, so wird die durch Kettenbruch-Entwickelung daraus abgeleitete Gleichung Na X2 2 Mm Xy Nm- 1*=(— 1) n-— 1 durch X= Bm— 2 W— Am— 2 V und y= Am— 1 V— Bn- 1 W befriedigt. Durch Substitution dieser Werte in die linke Seite der vorhergehenden Gleichung erhält man nämlich den Ausdruck
(Nm An 2 Mlmn Am 2 Am Nm An.) v — 2(Nm An= 2 Un- 2+ Mm[Am— 1 UBm- 2+ Am— 2 Dm=1l— Nm- 1 Am= 1 Pn- 1) vW =(Nm Ba 2. 2. Mm Bm 2 Bm. Nm= 1 1) ü= E.
Nach den Hülfsformeln des§ 18 ist der Koöffizient von vé aber=(— 1)— 1 N., der von vw ist=(— 1)— 1 M. und der von w ist=(— 1) No, also geht vorstehender Ausdruck K über in(— 1)-1(NI v2 2 Mi VW No w*)=(— 1)— P, w. z. b. w.
Die Auflösung der Gleichung a x²— 2 bXy— cy²= d gestaltet sich hiernach so:
Ist D die Determinante der Gleichung a x*— 2 bx— c= 0, so bilde man die Gleichung
v2= D.. 3 —= x2 2vXPd= 0, welche dieselbe Determinante hat. Man suche v so zu bestimmen,
d 2 dass 1 J 9 eine ganze Zahl wird.(Dieses ist nur möglich, wenn D„quadratischer Rest von d“ . Vv2——(d— v)z— D. ist.) Hat man- als ganze Zahl bestimmt, so ist auch— d— eine ganze Zahl.
v2— D
Entwickelt man die positive Wurzel der Gleichung X2— 2VX+ d= O in einen Ketten-
bruch, und ist die(m— 1) te abgeleitete Gleichung identisch mit a x— 2 bx— c= 0, so wird die Gleichung a X— 2 bxy— Gy2=(— 1)- 1d aufgelöst durch X=+ Bm— 2 und y=+ B V2— d Beispiel. Es sei die diophantische Gleichung 3 x— 2 Xy— 4 y²=+ 17 aufzulösen.
Hier ist D= 13 und S
2 1 2— nämlich 8 17 13= 3 und 9 17 13= 4. Wir erhalten also die beiden Gleichungen 3— 16 xX+ 17= 0 und 4— 18 X+ 17= 0. Wir entwickeln die positiven Wurzeln der ersten in Kettenbrüche. Für die gröſsere erhalten wir folgende Rechnung
m— 17
da die Gleichung 9 X2-= 2VXy Tdy²= d aufgelöst wird durch Xx= O= v, y= 1= w.
wird zu einer ganzen Zahl für v= 8 und für v= 9; es ist
3— 16 17= 0, a.= 3 4 X2 2 x 3 0, 42.= 1 12 6XxX 4= 0, a.= 6 4 12 6X 1= 0, a.= 3— 2 x 4=0. Also ist m= 5, Bm.2= 27, Bm 1= 31. Demnach sind X= 4 27 und y= † 31 Auflösungen der Gleichung 3 x*— 2 xXy— 4 y²=(— 1)¹˙. 17=+† 17.