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Setzt man statt s nach und nach s— 1, S— 2, s— 3 u. S. w., so erhält man Ni B=- 3— 2 M Be- s A- s— No A?- 3=(— 1)27 N. 2, N B2-4— 2 M. B. 4 A- 4— No A4.4=(— 1)3 N. 3 u. s. f. und endlich N B1²— 2 M. B1 Al.— No Al=(— 1)“— ²7 N=(— 1) 7 N.. Da aber B= al und A1= 1 ist, so ist hiernach N—l²— 2 M al— No=(— 1)s7 N.. Nun ist aber nach§ 4 N ll²— 2 M a— N=— Na, also mufs(— 1)s=— 1 folglich„=(— 1)s— ¹1 sein. Daraus folgt 21. N B2 1— 2 M. B.- 1 As 4— No A?⸗=(- 1)1 N., Die Auflösung der diophantischen quadratischen Gleichung Ni X2 2 M Xy— No Y2=+ N. ist demnach X= Bs und X= A. 1.

Diese Entwickelung setzt nicht voraus, daſs NéX2— 2 M X— N.= 0 eine reine Periode liefert. Alle Schlüsse derselben bleiben also auch geltend, wenn in der aufzulösenden diophan- tischen Gleichung das 1. und 2. Glied positiv, das 3. negativ, oder das 1. und 3. positiv, das 2. negativ ist.

Beispiel. Die Gleichung 3 X2— 22 X+ 28= 0 hat 2 positive Wurzeln. Die kleinere liegt zwischen 1 und 2. Wir entwickeln sie auf folgende Weise

3 X2— 22 x+ 28= 0, a.= 1 9 12— 16 X 3= 0, a.= 1 4 X 2X 9= 0, a,=— 7 X— 6X— 4= 0, al= 1 3 12 8X= 0, as= 3 4 X2— 10 x— 3= 0, a.= 2 7X— 6X 4=0.

„

Näherungswerte 1 4.. 5 4 1 4 Man findet nun 3. 1²2— 22.1.1+ 28. 12=+ 9 3. 22— 22.2.1+ 28.12=— 4 3.3²2— 22.3. 2+ 28.12=+† 7 3. 5²2— 22.5.3+ 28.3²2=— 3

3. 18²2— 22. 18.11+ 28.112=+ 4 3. 41²2— 22. 41. 25+ 28.252=—- 7. Die gröfsere Wurzel wird erhalten durch eine ähnliche Rechnung. 18. Auflösung der diophantischen Gleichungen Nm XZ+ 2 MaXy— Nm- 1 †2= X N. und Nu XZ+ 2 Mm Xy— Nn- 1 2= X Na. Hat man die positive Wurzel von NuX½—- 2 M X—O N= 0 in einen Kettenbruch ver- wandelt, so ist— Bn In-ſeläss. folgiich Na==—— Setzt man dieses statt Xm in die Gleichung Nu X2— Mm Im— Nm— 1= 0, So erhält man (Nm A. 2= 2 Nl L e e i) n — 2(Nm A= 2 Bn=2*. Um[Am— 1 Bm-2. Am Bm=1I—= Nm=1 A= 1 Ba 1) X *(Nm 5— 2* 2 Mm m 2 Bm-1 Nm— 1 B2* 1)= 0.

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