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16. Auflösung der diophantischen quadratischen Gleichungen Ni X2 2 M Xy N J²2= X Ni und N X2 2 M Xy No J*= † No⸗ Liefert die Gleichung NuXx²— 2 M X— N.= 0 bei der Entwickelung ihrer positiven Wurzel in einen Kettenbruch eine Kgliederige reine Periode, so ist nach§ 15 A h=S A 1= W
„ 2 M w, tolglich N Br 2 M. Ar= N At1 N Ar N. BrSn-
Daraus ergibt sich 18. Ni BE— 2 M Br Ar— No Ak= N(Bk Ak- 1— Ax Bk- 1)=(— 1)* N. Ferner hat man N. B=1— No Ar 2 M Bk No Ak= No Dk. Hieraus erhält man 19. N. Bk 1— 2 M Bk- 4 Ak- 1— No A- 1= No(Ax Bx- 1— Br Ax- 1)=(— 1) 1 No. Diese Entwickelungen gelten auch noch, wenn man sk statt k setzt. Also wird die
Gleichung Ni X½ 2 M Xy— No y²=(— 1)* N aufgelöst durch X= Bak und y= Asx
und die Gleichung Ni XZ2 2 M Xy—- N y²2=(— 1)sk- 1No wird aufgelöst durch X= Bar und v= Ask-
Damit die positive Wurzel der Gleichung NuX²— 2 M X— N= 0 bei der Entwickelung in einen Kettenbruch eine reine Periode liefere, muſs nach dem Früheren die Differenz der äufseren Koéffizienten kleiner als der mittlere sein.
Wegen des Folgenden möge noch eine dritte Gleichung entwickelt werden. Man hat
Ni Bk B= 1= 2 M. Ak Bk 1= Nua Ak= 1 Bw-
M. Ak Bk 1— Mi Bk Ak=( 1) MI
No Ax Ak- 1=— N BX= Ar= 1. Daraus erhält man durch Addition 20. N BX Br 1— M.(AxX Br- 1 † Bx Ax- 1)— No Ax Ar 1=-(— 1)* M. 17. Auflösung der diophantischen quadratischen Gleichung Ni XZ2— 2 MXy— No y²=+ N..
Man entwickele die positive Wurzel der Gleichung NX2— 2 MX— No= O in einen
Kettenbruch. ISt N. XS2— 2 Ms X— N. 1= O eine der abgeleitéten Gleichungen und ist 1e 8— 1 der(§— 1) te, 16 4 der(S— 2) te Näherungswert des Kettenbruchs, so ist X= Da=rI.. Wee = 2 A 1.. 4.2* .. 1.- D B.- 1. B. NL eeee) 2 M,(4 11)-— folglich N. Aer X=e L F. No= 0 oder
(N B2. 1— 2 Mi B.- 1 A— 1— No A? 1) X2- 2(Ni Ba- Bs 2— MiIB 1 A⸗=2 ℳ As- 1 Bs 2] — No As-1 A r X+(N B2- 2— 2 M., 4s 2— N. A 2. 2) 0. Diese Gleichung hat dieselben Wurzeln wie N. XS2.— 2 M. X— N.n= O0. Es muſs daher Ni B? 2 W Bs As 1 No A5 1= N., N B. 1 Ba- 2— M.(B.. 1 A. 2+ As 1 B.- 2)— No As- 1 As. 2=— y M.. N B2 2— 2 M. 3 2 As 2— No As-e=„ Ns- 1 sein.