7)=L11 5X D. — 14 31. und da a= 1 ist. 1=. 4 28. 9. folglich N-— M.=Vb, 1

1 also Ni²— 2 N. M.+ M²= D oder N²— 2 N M+ Mi2= M.2+ N. N oder Ni— 2 Mi= N., d. h. N. N. 2 M.*

Also wird die Gleichung Nx²— 2 M X— N.= 0 bereits zur Periode ge- hören, wenn 2 M,= No— N und auch 2 M— N— No ist.(Vergl.§ 1.)

Beispiel. Die Gleichung 3 ½— 4— 19= 0 kann darum keine reine Periode liefern.

Ferner ist au

Untere Grenze Gleichungen der V positiven Wurzel 1 312 4 X O- 19= 0 91= 3 21 1r 325 72= 3 3 9n 10r 1⸗0 33= 1 4 5 22— 8x— 9—0 64= 5 V 5 12— 12 X1— 5—0 a5—= 2 6 92— 81— 5=o0— ase 7 4 X2— 10 X— 9= 0 a7= 3 8 3 X— 14 X— 4= 0 a8= 4 9 12 2— 101— 3=0 99= 10 XZ— 14 X- 12= 0 910= 14 11 12 12— 141— 1—0 au= 1 12 3 X— 10 Xx- 12= 0 912= 4 13 4 141— 3=0

Hier ist die 13. Gleichung mit der 2. identisch; mit der 2. Gleichung beginnt also eine 11 gliedrige Periode; die 1. Gleichung gehört noch nicht zur Periode, weil 4— 19— 3 ist.

7. Beziehung zwischen der positiven und negativen Wurzel der Glei-

chung Ni XZ2— 2 M X— No= 0. Man setze X=-+¼, so wird No y?— 2 M y— N= O.

*) Aus No— Ni= 2 M und Ni— No= 2 Mi folgt Ni²— 2 N1 No+f No²= 4 Mi² (Ni+ No)?= 4 Mi²+ 4 Ni No Ni+ No= 2 V.

Also da N— No und No— Ni= 2 M sind,

No= VD+ M und Ni= VD+ Ml.

Hieraus und aus Ni No=(VP— Mi)(VD+ M.) folgt dann Ni= VD— M. No-= VD— M.

Dieses sind nach Gaufs Kennzeichen der„reduzierten Form“ N X2+ 2 MIXy— No y.