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Liegt die positive Wurzel dieser Gleichung zwischen a und a,+ 1, so kann man, indem

man Xe2= a.+ 7 setzt, aus ihr eine dritte Gleichung ableiten, nämlich N. X.²2— 2 M. X— N.= 0, 3 wobei N.= N+ 2 M. a.— Na a.2 und M.= Na a.— Ma ist. Wir können auf dieselbe Weise fortfahren, und erhalten so eine Folge von Gleichungen, alle von der Form 5. Nu X— 2 Mm Xm— Nma- 1= 0. Die Koöffizienten der nächsten Gleichung werden aus denen der Gleichung 3 hergeleitet mit Hülfe der Relationen 4. Nm 1= Nm. 1= 2 Mm am— Inm ga und 5. NM 1 1. M= NI Qur. Mn 4+. VDn N Ma+ Na Nm- 1 verstanden wird. Bekanntlich heiſst Da die Determinante der Gleichung 3. Alle abgeleiteten Gleichungen haben gleiche Determinante mit der Stammgleichung. Wir brauchen, um dieses zu beweisen, nur zu zeigen, dals Dm. 1= m ist. Setzen wir in die Gleichung Dm 4.= M* 1+ Nm.1 Na für Ma+ 1 und Na+1 ihre Werte aus 4 und 5, so erhalten wir Dm † 1=(Nm am— Mn)“**. Nm(Nm= 1+†9 2 M d N d2 Mie Nm Nm 1= Im. Wir können also noch folgende Gleichungen aufstellen, wenn wir unter D die allen Gleichungen gemeinschaftliche Determinante verstehen, 6. Nia= N Nm 1= D

VD+ Ma) 7 am= P(S

Dabei ist am die gröſste in enthaltene ganze Zahl, wenn unter Du die Summe

7 wobei wir mit Legendre unter E(ha. dn die gröſste in 1L M enthaltene ganze Zahl m Nm

verstehen.

5. Bei dieser Entwickelung müssen sich die Gleichungen periodisch wiederholen, entweder von der Stammgleichung an, oder von einer der abgeleiteten Gleichungen an. Dasselbe gilt von den Nennern des Kettenbruchs.

Der grölste Wert von Ma, wenn nämlich Nu und Nm= gleich 1 sind; ist D= 1, also ist Ma= D und Ma= VD.

Der kleinste Wert von Ma ist= 0, wenn Nu= 1 und Nm— 1= D ist, oder umgekehrt, wie in den Gleichungen x— 0OX— D= O und DX2 0OX 1= 0. Der grölste Wert von Nm ist D, der kleinste ist= 1. Da nun die Reihe der abgeleiteten Gleichungen bis in's Un- endliche fortgesetzt werden kann, während die Anzahl der Werte von N und M begrenzt ist, so mufs man, nachdem man die Entwickelung eine zeitlang fortgesetzt hat, notwendig auf eine Gleichung N X½— Mu XIm— Nu-1= 0 stoſsen, die schon einmal da war, und von da an müssen sich alle aus dieser abgeleiteten Gleichungen periodisch wiederholen. Dasselbe gilt von den aus diesen Gleichungen bestimmten Nennern des Kettenbruchs.