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Also ist die zweite Wurzel der Gleichung 18 X²— 62 X+ 53= 0 folgende

1= 1*1 1+ 1 14+ 1 24+1 14 1 4+ 1 1+ 1 1 4.. 1 2 3 8 11 52 63 115 Näherungswerte 112'„ 33 10 75

Eine Gleichung von der Form a X2— 2 bk+e= 0 kann sich bei diesen Entwickelungen niemals periodisch wiederholen. Denn liegt ihre kleinere Wurzel zwischen« und«+ 1, ihre

gröſsere zwischen Gβ und+‿ 1, so erhält man, wenn man X=+ 3 setzt, eine Gleichung,

welche nur eine positive Wurzel, also nur einen Zeichenwechsel hat. Alle aus dieser abgeleiteten Gleichungen, welche die ferneren Nenner des die gröſsere Wurzel der Gleichung ax²— 2 bz+e=0 darstellenden Kettenbruchs liefern, können dann auch nur eine positive Wurzel, also nur einen

Zeichenwechsel haben. Setzen wir dagegen α+‿ 5 statt x in die Gleichung a x—, 2 bz+e= 0,

so wird, weil letztere zwei Wurzeln a hat, die Gleichung in y zwei positive Wurzeln haben,

wovon die eine= 1, die andere= 1 ist. Da alle Kettenbruchsnenner= 1 sein sollen, so kann man nur die gröſsere dieser Wurzeln nehmen. Liegt diese zwischen y und+ 1, und setzt man

v=, so wird die Gleichung in z nur eine positive Wurzel, also auch nur einen Zeichen-

wechsel haben, und dieses gilt auch von allen aus ihr abgeleiteten Gleichungen. Es kann auch vorkommen, dass die Nenner beider Kettenbrüche vom ersten an bis zu irgend einem späteren übereinstimmen, wie im vorliegenden Beispiel. Bis ins Unendliche kann sich diese Ueberein- stimmung nicht erstrecken, weil sonst die Kettenbrüche identisch, also die beiden Wurzeln

a sein mülste, welcher Bruch aber einen Kettenbruch mit einer endlichen Anzahl von Gliedern liefert, wenn die Koöffizienten der gegebenen ganze Zahlen sind, was wir hier immer voraussetzen. Wir müssen also notwendig zu einer Gleichung gelangen, deren eine Wurzel zwischen α und+ 1, die andere zwischen β und 6+☚ 1 liegt, wo a und g verschiedene positive ganze Zahlen sind. Von dieser aber gelangt man, wie oben gezeigt, notwendig zu Gleichungen, welche nur eine positive Wurzel, also nur einen Zeichenwechsel haben.

3. Fortsetzung. Es sei a x²+† 2 bx— c= 0 aufzulösen. Ihre positive Wurzel liege

4 2V und 4 gleich wären, was nur möglich ist, wenn D= 0 ist, so dals X= X0= 4.

zwischen m und an+ 1. Mansetze x= a+ 3— so wird(a ai*+ᷣ 2 b a— c) y²+ 2(aa+. b) y+ a= 0.

Da die gegebene Gleichung zwischen a und+ o eine positive Wurzel hat, die linke Seite aber für X=+ o positiv wird, so muſs sie für X= a negativ werden; 2(a a+ b) aber ist positiv.