2

Da Bx= Ak= Ax-1 und Bx= Bk= 1= Ax- 1, 80 liegen Ax und Bx 1 awischen B und Ax- 1, und ihre Differenz ist kleiner als Bx— Ax-— 1, welche positiv ist. Die Gleichung hiat also die Form a x*— bX cä= 0; die Differenzen a— c und ce— a sind IZb.

Beispiel. Die Nenner der Periode seien 2, 3, 2, 4, so ist k= 4; die Näherungs-

werte sind* 7 15 31 also die gesuchte Gleichung 31 X²— 64 x— 16= 0, woraus sich ergibt X= 2,2663. als Wert des Kettenbruches 2+ 1 3+ 1 2+ℳ1 4+.

Ist der gegebene Kettenbruch wieder rein periodisch mit kGliedern a bis ax, aber= 1, also von der Form 1

und bedeuten x, 19—t, 41 wieder den genauen Wert, sowie den(K— 1) ten und kten Näherungs- Ak 1 k

wert, so setze man X= 3 also v= al 1 6... 1 d..

Ak A „t und al, wan er-

Der(K— 1)te und kte Näherungswert von y ist bezüglich B D; k— 1 k

hält also für y die Gleichung 2. Bx y²—(Ax— BxX- 1) y— Ax- 1= 0.

, 8o wird Ak— 1 X2+(Ax— Bx- 1) X— Bx= O.

pa v= 2

Hier ist Ar= Bx= Br- 1 und AL= Axk- 1 BxX- 1, also liegen Bx und Ax- 1 zwischen Ax und BX- 1; ihre Differenz ist also= Ax— BXx- 1, welche positiv ist. Die Gleichung hat also die Form a xe+† bX— c= 0; die Differenzen a— c und c— a sind= b. Beispiel. Die Nenner der Periode seien 4, 3, 2, 1, so sind die Näherungswerte 1. 1 36: 13 woraus man die Gleichung erhält 30 xX²*+ 36 X— 10= 0; daraus folgt X= 0,23266.. als Wert des Kettenbruchs 1 4+1 3+ 1