Die periodischen Kettenbrüche und die diophantischen Gleichungen zweiten Grades.

In Folgendem habe ich versucht, eins der umfangreichsten, wichtigsten und interessan- testen Probleme der„Zahlentheorie“, nämlich die„Darstellung einer beliebigen Zahl d durch die quadratische Form a x ‿ 2 bXy cy²“ oder die„Auflösung der diophantischen quadratischen Gleichung a x+‿ 2 bxy+ecy²= d“ so elementar zu behandeln, dals es Schülern der obersten Klasse eines Realgymnasiums verständlich wird. Der geringe mir zur Verfügung stehende Raum gebot natürlich Beschränkung auf das Notwendigste; es konnte darum nur der Fall untersucht werden, wenn die quadratische Form eine positive Determinante hat, die kein vollständiges Quadrat ist. Da ich besonders Rücksicht auf das Bedürfnis solcher Leser nehmen wollte, die sich nicht eingehender mit der Zahlentheorie beschäftigt haben, so war die Gaussische Be- handlung des Problems(Disquisitiones arithmeticae, sectio quinta) für meinen Zweck nicht ge- eignet. Dagegen setzt die von Lagrange in seiner„Auflösung der numerischen Gleichungen“ § 45 bis§ 64 gegebene Auflösung durch periodische Kettenbrüche aus der Zahlentheorie nur die Kenntnis der Eigenschaften der endlichen(also nicht periodischen) Kettenbrüche voraus. Letztere finden sich aber in den neueren arithmetischen Leitfäden und Aufgabensammlungen, z. B. Kambly, Heis. Meine Arbeit entwickelt nun in ihrem ersten Teile(bis zu§ 10) die Beziehungen der periodischen Kettenbrüche zu den Wurzeln der bestimmten quadratischen Gleichungen, geht dann über zur Pell'schen Gleichung(§ 11 bis§ 14), und endlich zu den Gleichungen a x²— 2 b x y— GCy2= d, a X2 2 bxy— cy²2= d und a X2— 2 bxy cy²= d.

1. Der Wert eines periodischen Kettenbruchs ist gleich der positiven Wurzel einer quadratischen Gleichung. Der gegebene Kettenbruch sei rein periodisch, — 1, die Periode habe kGlieder, deren erstes au, deren letztes ax ist, der genaue Wert des

Kettenbruchs sei x, der(K— 1)te Näherungswert— der kte n. so ist

4 Z 1 k X= au †. 1 d. 4...+ 1

3 4 1

X

.— B.1* By— 1... oder X= AT folglich die gesuchte Gleichung. 1. Ax-XZ—(Br— Ar— 1) X— Bx- 1= 0.