II. Die Ellipſe als affines Bild des Kreiſes. 29
erſcheint als Krümmungskreis im Scheitel der großen Achſe; die höheren Parallelkreiſe umſchließen den Pol, allmählich in dieſen Punkt übergehend.
36. Krümmung. Zum genauen Zeichnen der Ellipſe braucht man Krümmungskreiſe; ein Eingehen auf dieſen Begriff iſt aber auch für das Verſtändnis der Erdabplattung nützlich. Die Krümmungsmitten der Scheitel werden durch Lote ausgeſchnitten, die man aus den Ecken des konjugiert umſchriebenen Rechtecks auf die Diagonale fällt, die nicht durch die betreffende Ecke hindurchgeht. Die Krümmungshalbmeſſer Iri für den Scheitel der kleinen, re für den der großen Achſe] folgen aus der Proportion:
a: b= r: a= h: Tz.
Die Richtigkeit der Gleichung b-r= a? kann aus der ſenkrechten Projektion der Kugel im Anſchluß an die erſte Aufgabe des vorigen Paragraphen gefolgert werden.²“ Wir ſahen nämlich, daß die den Polar⸗ kreis darſtellende Ellipſe den Kugelumriß zum Krümmungskreis im Scheitel der kleinen Achſe hat. Nun beſtimmt aber der Kugelradius ru mit dem Halbmeſſer a des Parallelkreiſes ein rechtwinkliges Dreieck, das ru zur Hypotenuſe, a zur einen Kathete und die kleine Halbachſe b des Parallel⸗ kreisbildes zur zugehörigen Kathetenprojektion hat; die andere Kathete liegt in der Erdachſe. Da man umgekehrt jede Ellipſe auf die angegebene
Weiſe kann entſtehen laſſen, ſo folgt allgemein ru= 1.
Ganz ähnlich geht die Formel be= a-re aus der Aufgabe 2 hervor durch ſchiefe Projektion der Kugel.
Hier iſt die große Halbachſe a der Umrißellipſe Hypotenuſe eines rechtwinkligen Dreiecks, deſſen eine Kathete der den Scheitel treffende Seh⸗ ſtrahl und deſſen andere Kathete der zu dieſem Sehſtrahl ſenkrechte Kugel⸗ halbmeſſer b iſt; die Kathetenprojektion von b iſt der Halbmeſſer re des Parallelkreiſes, alſo b?= a. ra.
Anmerkung. Die Krümmungsmitte eines Diagonalpunktes[vergl. N 30]
wird auf ſeiner Normalen als Mitte der Strecke beſtimmt, welche aus ihr die Achſen ausſchneiden.*“
37. Schlußbemerkung. Der Übergang zur rechnenden Behand⸗ lung läßt ſich bereits nach N 33 mit Hilfe des über einer Achſe er⸗ richteten Kreiſes bewerkſtelligen, oder nach 34 auf Grund der Brenn⸗
23 Dieſen ſowie den folgenden Beweis verdanke ich Herrn H. Wiener. ²4 Vergl. die Fußnote S. 24.