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Beſtimmt man zu p alle diejenigen p', welche mit ihm ein harmoniſches Punkte⸗ paar bilden, ſo liegen dieſelben auf einer geraden Linie, welche die Polare des Punktes

p heißt. Der Beweis beruht auf dem in§. 13 angeführten

Satze: Bilden von vier harmoniſchen Strahlen zwei zuge⸗ ordnete einen rechten Winkel, ſo halbiren ſie die Winkel der andern zwei zugeordneten Strahlen und umgekehrt halbirt einer von vier harmoniſchen Strahlen den Winkel zweier zugeordneten Strahlen, ſo bildet er mit ſeinem conjugirten Strahl einen rechten Winkel. Nehmen wir zunägſt an, p läge außerhalb des Kreiſes und ziehen durch ihn einen Durchmeſſer, ſo gibt es auf dieſem einen p. conjugirten Punkt s; alsdann ſind rsap vier harmoniſche Punkte. In s errichte man eine Senkrechte zu rq und ziehe durch p die „ beliebige Sckante pq'r“. Auf ihr gibt es einen p conju⸗ girten harmoniſchen Punkt, der ſei p'. Läßt ſich nun beweiſen, daß dieſer auf der Senk⸗ rechten in s liegt, ſo iſt unſer Satz feſtgeſtellt. r'(rsqp) ſind vier harmoniſche Strahlen, denn ſie gehen durch vier harmoniſche Punkte; r’r und r’g ſtehen auf einander ſenkrecht, alſo iſt r“r’lq=pr'q, d. h. zwei Peripheriewinkel ſind gleich, folglich Bogen r“.= q*—, alſo auch Xr“sq= 4†sq. Betrachten wir nuns als Strahlenmittelpunkt, von dem die Strahlen sp, sq sp“ u. sr“ ausgehen, ſo ſind dieſe vier Strahlen harmoniſch, weil nach der Vorausſetzung pa“*p’r“ harmoniſche Punkte waren. Der Winkel zweier entſprechenden derſelben(resp. deren Verlängerung sr“ u. sq*) wird aber durch den dritten Strahl sq halbirt, folglich ſteht der vierte(p') auf dieſem ſenkrecht, d. h. p' liegt wirklich auf dem in s auf ra errichteten Perpendikel. Liegt p innerhalb des Kreiſes, ſo liegt die Polare in

— einer Senkrechten auf rq außerhalb des Kreiſes. E Bw. Zu pr“—“ gibt es einen conj. harm. Punkt p', der außerhalb des Kreiſes liegen muß. r'(rp. qs) ſind vier r, 4 4 harm. Strahlen, r'r ſenkrecht auf r'q, folglich r“r“q“ N halbirt, d. h. r“4ᷣß= q*—, alſo auch Winkel r“sq= 4'sq.

X 4 Verbindet man s als Strahlenmittelpunkt mit den harm. D Punkten p“q'*pr“, ſo wird der Winkel zweier entſprechenden

sr“ u. sq“ halbirt, alſo ſtehen die beiden andern squ. sp“ X/41 auf einander ſenkrecht, d. h. conſtruirt man zu p irgend

N einen conjugirten harm. Pols in Bezug auf M, ſo liegt

——— derſelbe in derjenigen Geraden, welche in s ſenkrecht zu Ms

errichtet werden kann. Ueber den Zuſammenhang von Pol und Polare finden nun folgende Sätze ſtatt. Liegt der Pol innerhalb des Kreiſes, ſo ſchneidet die Polare den Kreis nicht; liegt er aber außerhalb des Kreiſes, ſo ſchneidet die Polare den Kreis in zwei Punkten, näm⸗ lich in den Berührungspunkten der von dem Pol an den Kreis gezogenen Tangenten. Liegt der Pol auf dem Kreiſe ſelbſt, ſo iſt die Polare die Tangente im Pol am Kreis.